사영 가군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
[[환론]]에서 '''사영 가군'''(射影加群, {{llang|en|projective module}})은 [[자유 가군]]을 [[직합]]으로 분해하였을 때의 한 성분으로 나타낼 수 있는 [[가군]]이다. 가군의 [[범주 (수학)|범주]]에서의 [[사영 대상]]이다.

== 정의 ==
환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>P</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 가군을 '''사영 왼쪽 가군'''이라고 한다.
* 모든 [[짧은 완전열]] <math>0\to M\to N\to P \to 0</math>가 [[분할 완전열]]이다.
* <math>P\oplus Q</math>가 [[자유 가군]]인 [[왼쪽 가군]] <math>Q</math>가 존재한다.
* [[함자 (수학)|함자]] <math>\hom(P,-)\colon R\text{-Mod}\to\operatorname{Ab}</math>가 [[완전 함자]]이다. 여기서 <math>\operatorname{Ab}</math>는 [[아벨 군]]들의 범주이다.
* 모든 [[가군 준동형]] <math>f\colon P\to M</math> 및 [[전사 함수|전사]] [[가군 준동형]] <math>\pi\colon\tilde M\twoheadrightarrow M</math>에 대하여, <math>\pi\circ\tilde f=f</math>인 가군 준동형사상 <math>\tilde f\colon P\to\tilde M</math>이 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, [[보편 성질]]이 아니다.)
*:<math>\begin{matrix}
&&P\\
&{\scriptstyle\exists}\swarrow&\downarrow\\
\tilde M&\to&M&\to&0
\end{matrix}</math>

마찬가지로, [[오른쪽 가군]]에 대하여 '''사영 오른쪽 가군'''을 정의할 수 있다.

=== 국소 자유 가군 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math>이 다음 조건을 만족시킨다면 '''점별 자유 가군'''({{llang|en|pointwise free module}})이라고 한다.
* 모든 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에 대하여 <math>R_{\mathfrak p}\otimes_RM</math>은 <math>R_{\mathfrak p}</math>-[[자유 가군]]이다.
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math>이 다음 조건을 만족시킨다면 '''국소 자유 가군'''({{llang|en|locally free module}})이라고 한다.
* 모든 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에 대하여, <math>R_f\otimes_RM</math>가 <math>R_f</math>-[[자유 가군]]이 되는 <math>f\in R\setminus\mathfrak p</math>가 존재한다.

이 개념들은 [[가군층]]에 대하여 일반화할 수 있다. 일반적으로, [[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>\mathcal F</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''점별 자유 가군층'''({{llang|en|pointwise free sheaf of modules}})이라고 한다.
* 모든 점 <math>x\in X</math>에 대하여 [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal F_x</math>는 <math>\mathcal O_{X,x}</math>-[[자유 가군]]이다.
[[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>\mathcal F</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''국소 자유 가군층'''(局所自由加群層, {{llang|en|locally free sheaf of modules}}, {{llang|fr|faisceau de modules localement libre}})이라고 한다.<ref name="ÉGA1">{{저널 인용
 |last         = Grothendieck
 |first        = Alexandre
 |저자링크 = 알렉산더 그로텐디크
 |last2        = Dieudonné
 |first2       = Jean
 |author2-link = 장 디외도네
 |year         = 1960
 |title        = Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas
 |journal      = Publications Mathématiques de l’IHÉS
 |issn         = 0073-8301
 |volume       = 4
 |mr           = 0217083
 |url          = http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1960__4_
 |doi          = 10.1007/bf02684778
 |언어       = fr
 |access-date  = 2016-05-10
 |archive-date = 2016-03-06
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20160306015028/http://numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=pmihes_1960__4_
 |url-status   = dead
}}</ref>{{rp|48, (5.4.1)}}
* 모든 점 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\mathcal F|_U\cong\mathcal O_X^{\oplus\kappa}|_U</math>가 되는 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math> 및 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>가 존재한다.

=== 국소 자유 가군층의 기하학적 정의 ===
스킴 <math>Y</math> 위의, 계수 <math>n\in\mathbb N</math>의 '''대수적 벡터 다발'''({{llang|en|algebraic vector bundle}})은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 스킴 <math>E</math>
* [[스킴 사상]] <math>\pi\colon E\to Y</math>
* [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>
* 각 <math>U\in\mathcal U</math>에 대하여, 스킴 동형 사상 <math>i_U \colon f^{-1}(U) \to \mathbb A^n_U = \mathbb A^n_{\mathbb Z} \times U</math>
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 임의의 <math>U,V\in\mathcal U</math> 및 임의의 아핀 [[열린집합]] <math>\operatorname{Spec}R \hookrightarrow U \cap V</math>에 대하여, <math>i_V \circ i_U^{-1} \colon \mathbb A^n_{\operatorname{Spec}R} \to \mathbb A^n_{\operatorname{Spec}R}</math>는 어떤 <math>R</math>-[[선형 변환]] <math>T_{U,V,R} \in \operatorname{Mat}(n,n;R)</math>에 의하여 유도된다.
<math>Y</math> 위의 대수적 벡터 다발의 '''동형 사상'''
:<math>\phi \colon (E,\pi,\mathcal U,i) \to (E',\pi,\mathcal U',i')</math>
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>Y</math>-스킴의 동형 사상 <math>\phi\colon E\to E'</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* <math>(E,\pi, \mathcal U \cup \mathcal U',(i,i'))</math>는 대수적 벡터 다발을 이룬다. 즉, 임의의 <math>U\in\mathcal U</math>, <math>U'\in\mathcal U'</math> 및 <math>\operatorname{Spec}R \hookrightarrow U\cap U'</math>에 대하여, <math>i_{U'} \circ i_U^{-1} \colon \mathbb A^n_R \to \mathbb A^n_R</math>는 어떤 <math>\operatorname{Mat}(n,n;R)</math>의 원소에 의하여 유도된다.
이 경우, 계수 <math>n</math>의 대수적 벡터 다발의 개념은 계수 <math>n</math>의 국소 자유 가군층의 개념과 [[동치]]이다.<ref name="hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|128–129, Exercise Ⅱ.5.18}} 구체적으로, 대수적 벡터 다발 <math>\pi\colon E\to Y</math>에 대응되는 가군층은 다음과 같다.
:<math>\Gamma(E,U) = \{s\colon U \to E\colon \pi\circ s=\operatorname{id}_U\}\qquad(U\in\operatorname{Open}(Y))</math>

== 성질 ==
=== 일반적 환의 경우 ===
(비가환일 수 있는, 1을 갖는) [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:[[자유 가군]] ⊂ 사영 가군 ⊂ [[평탄 가군]] ⊂ [[꼬임 없는 가군]]

=== 가환환의 경우 ===
[[국소 가환환]]이나 [[주 아이디얼 정역]]의 경우, 모든 사영 가군은 자유 가군이다.

[[가환환]] 위의 [[가군]]에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.
:사영 가군 ⊂ 점별 자유 가군
:국소 자유 가군 ⊂ 점별 자유 가군

[[가환환]] 위의 [[유한 생성 가군]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 사영 가군이다.
* 국소 자유 가군이다.
'''[[세르-스완 정리]]'''에 따르면, 가환환 <math>R</math> 위의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] 사영 가군의 범주는 <math>\operatorname{Spec}(R)</math> 위의 유한 계수 국소 자유 가군층들의 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다.

[[가환환]] 위의 [[유한 표시 가군]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 국소 자유 가군이다.
* 점별 자유 가군이다.
* 사영 가군이다.
* [[평탄 가군]]이다.
특히, [[뇌터 가환환]] 위의 모든 [[유한 생성 가군]]은 [[유한 표시 가군]]이므로, 이 경우 위 조건들이 서로 [[동치]]이게 된다.

=== 계수 ===
점별 자유 가군층 <math>\mathcal F</math>의 <math>x\in X</math>에서의 '''계수'''({{llang|en|rank}})는 <math>\mathcal O_{X,x}</math>-[[자유 가군]] <math>\mathcal F_x</math>의 계수이며, 이는 [[함수]]
:<math>\dim M\colon X\to\operatorname{Card}</math>
를 정의한다. (여기서 <math>\operatorname{Card}</math>는 모든 [[기수 (수학)|기수]]의 [[모임 (집합론)|모임]]이다.)

<math>\operatorname{Card}</math>(의 충분히 큰 [[부분 집합]])에 [[이산 위상]]을 부여하였을 때, 만약 <math>\mathcal F</math>가 국소 자유 가군층이라면 계수 함수 <math>\dim M\colon X\to\operatorname{Card}</math>는 (정의에 따라) [[연속 함수]]이다.

== 예 ==
<math>e\in R</math>가 [[멱등원]]이라고 하자 (즉, <math>e^2=e</math>를 만족시킨다고 하자). 그렇다면 <math>e</math>로부터 생성되는 [[왼쪽 아이디얼]] <math>Re</math>는 <math>R</math>의 사영 [[왼쪽 가군]]이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Projective module}}
* {{eom|title=Locally free sheaf}}
* {{매스월드|id=ProjectiveModule|title=Projective module}}
* {{nlab|id=projective module|title=Projective module}}
* {{nlab|id=locally free module|title=Locally free module}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2008/04/09/locally-free-sheaves-and-vector-bundles/|제목=Locally free sheaves and vector bundles|날짜=2008-04-09|이름=Charles|성=Siegel|웹사이트=Rigorous Trivialities|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/44839/wikipedias-definition-of-locally-free-sheaf|제목=Wikipedia's definition of 'locally free sheaf'|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:가군론]]