사사키 다양체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''사사키 다양체'''([佐々木] 多樣體, {{llang|en|Sasakian manifold}})는 그 위에 정의된 뿔이 [[켈러 다양체|켈러 구조]]를 갖춘 [[접촉 다양체]]이다.

== 정의 ==
<math>(M,g)</math>가 [[리만 다양체]]라고 하자. 그렇다면 <math>M</math>의 '''리만 뿔'''({{llang|en|Riemannian cone}}) <math>(\hat M,\hat g)</math>은 위상수학적으로 <math>M\times\mathbb R</math>이고, 다음과 같은 [[계량 텐서]]
:<math>\hat g=\exp(2t)(g+dt^2)</math>
를 갖춘 [[리만 다양체]]다.

<math>(M,g,\theta)</math>가 [[접촉 다양체|접촉 구조]] <math>\theta</math>를 갖춘 [[리만 다양체]]라고 하자. <math>M</math>의 리만 뿔에는 다음과 같은 (국소적) 2차 미분형식이 존재한다.
:<math>\exp(2t)(d\theta+2dt\wedge\theta)</math>
만약 이 미분형식이 모든 곳에 정의되고 [[켈러 다양체|켈러 구조]]를 이룬다면 <math>M</math>을 '''사사키 다양체'''라고 한다.

== 관련 개념 ==
'''사사키-아인슈타인 다양체'''({{llang|en|Sasaki–Einstein manifold}})는 그 리만 뿔이 [[칼라비-야우 다양체]]를 이루는 사사키 다양체이다.<ref name="BBS">{{서적 인용|이름=Katrin|성=Becker|저자2=Melanie Becker|저자3=John H. Schwarz|저자링크3=존 헨리 슈워츠|doi=10.2277/0511254865|제목=String Theory and M-Theory: A Modern Introduction|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0511254864|연도=2006|월=12|url=http://theory.caltech.edu/~stringbook/|bibcode=2007stmt.book.....B|언어=en|확인날짜=2013-06-29|보존url=https://web.archive.org/web/20150118104448/http://theory.caltech.edu/~stringbook/|보존날짜=2015-01-18|url-status=dead}}</ref>{{rp|671,676}}

'''3-사사키 다양체'''({{llang|en|3-Sasakian manifold}})는 그 리만 뿔이 [[초켈러 다양체]]를 이루는 사사키 다양체이다.<ref>{{저널 인용|이름=Charles P.|성=Boyer|저자2=Krzysztof Galicki|arxiv=hep-th/9810250|제목=3-Sasakian Manifolds|저널=Surveys in Differential Geometry|권=7|날짜=1999|쪽=123-184|언어=en|bibcode=1998hep.th...10250B}}</ref> 모든 3-사사키 다양체는 사사키-아인슈타인 다양체이며, [[스핀 구조]]를 갖춘다.

== 예 ==
[[코니폴드]]는 (실수) 6차원 [[칼라비-야우 다양체]]인데, 이는 5차원 사사키-아인슈타인 다양체 ''T''<sup>1,1</sup>의 리만 뿔로 나타낼 수 있다. ''T''<sup>1,1</sup>은  위상수학적으로 ''S''<sup>2</sup>×''S''<sup>3</sup>이고, SU(2)×SU(2)×U(1) [[등거리변환군]]을 가진다.

2004년에는 ''Y''<sup>''p'',''q''</sup>라는 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0403002|제목=
Sasaki-Einstein metrics on ''S''<sup>2</sup>×''S''<sup>3</sup>|이름=Jerome P.|성=Gauntlett|저자2=Dario Martelli|저자3=James Sparks|저자4=Daniel Waldram|bibcode=2004hep.th....3002G|언어=en}}</ref><ref name="BBS"/>{{rp|676}} 여기서 ''p''와 ''q''는 [[서로소]] 양의 정수이다. 이들은 위상수학적으로 ''S''<sup>2</sup>×''S''<sup>3</sup>이고, SU(2)×U(1)×U(1) [[등거리변환군]]을 가진다.

2005년에는 ''L''<sup>''p'',''q'',''r''<sub>1</sub>,…,''r''<sub>n&minus;1</sub></sup>이라는 (2''n''+1)차원 사사키-아인슈타인 다양체들이 발견되었다.<ref name="BBS"/>{{rp|676}}<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0504225|제목=New Einstein–Sasaki spaces in five and higher dimensions|이름=
Mirjam|성=Cvetič|저자2=Hong Lü|저자3=Don N. Page|저자4=C.N. Pope|언어=en|날짜=2005|doi=10.1103/PhysRevLett.95.071101|bibcode=2005PhRvL..95g1101C}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0505223|제목=New Einstein-Sasaki and Einstein Spaces from Kerr–de Sitter|이름=Mirjam|성=Cvetič|저자2=Hong Lü|저자3=Don N. Page|저자4=C.N. Pope|언어=en|doi= 	10.1088/1126-6708/2009/07/082|bibcode=2009JHEP...07..082C|날짜=2009-07|권=2009|호=7|쪽=82|issn=1029-8479|저널=Journal of High Energy Physics}}</ref> 5차원의 경우, 이들은 위상수학적으로 ''S''<sup>2</sup>×''S''<sup>3</sup>이고, U(1)×U(1)×U(1) [[등거리변환군]]을 가진다.

== 역사 ==
1960년에 사사키 시게오({{llang|ja|佐々木 重夫}})가 정의하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Shigeo|성=Sasaki|제목=On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure I|저널=Tôhoku Mathematical Journal|권=12|날짜=1960|쪽=459–476|mr=0123263|doi=10.2748/tmj/1178244407|issn=0040-8735}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Shigeo|성=Sasaki|제목=On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure II|저널=Tôhoku Mathematical Journal|권=13|날짜=1961|쪽=281–294.|mr=0138065|doi=10.2748/tmj/1178244304|issn=0040-8735}}</ref><ref>{{맥튜터|id=Sasaki|title=Shigeo Sasaki}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=Charles P.|성=Boyer|저자2=Krzysztof Galicki|제목=Sasakian Geometry|isbn=978-0-19-856495-9|언어=en|출판사=Oxford University Press|날짜=2008-01-24|url=http://ukcatalogue.oup.com/product/9780198564959.do|doi=10.1093/acprof:oso/9780198564959.001.0001|mr=2382957}}
* {{저널 인용|이름=Dario|성=Martelli|저자2=James Sparks|저자3=Shing-Tung Yau|저자링크3=야우싱퉁|arxiv=hep-th/0603021|제목=Sasaki–Einstein manifolds and volume minimisation|날짜=2008-06|doi=10.1007/s00220-008-0479-4|bibcode=2008CMaPh.280..611M|언어=en|저널=Communications in Mathematical Physics|권=280|호=3|쪽=611–673|mr=2399609}}
* {{저널 인용|제목=Sasaki–Einstein manifolds|이름=James|성=Sparks|arxiv=1004.2461|언어=en|bibcode=2010arXiv1004.2461S|mr=2893680}}
* {{저널 인용|제목=Sasakian geometry: the recent work of Krzysztof Galicki|이름=Charles P.|성=Boyer|arxiv=0806.0373|bibcode=2008arXiv0806.0373B|저널=Note di Matematica|권=28|호=Supplement 1|쪽=63–105|날짜=2008|doi=10.1285/i15900932v28n1supplp63|언어=en|issn=1123-2536|mr=2640576}}
* {{저널 인용|제목=トーリック佐々木-Einstein多様体の理論の最近の進展|저자=山崎雅人|날짜=2007-07-22|url=http://member.ipmu.jp/masahito.yamazaki/files/2007/kinosakisasaki.pdf|언어=ja}}
* {{서적 인용|제목=부분다양체론|저자=기우항|저자2=김영호|위치=서울|출판사=아카넷|isbn=978-89-89103-30-1|기타=대우학술총서 497|날짜=2002|언어=ko|url=http://www.dibrary.net/search/dibrary/SearchDetail.nl?category_code=kn&service=KOLISNET&vdkvgwkey=24458154}}{{깨진 링크|url=http://www.dibrary.net/search/dibrary/SearchDetail.nl?category_code=kn&service=KOLISNET&vdkvgwkey=24458154 }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Sasakian manifold|first=A.|last=Bejancu}}

{{전거 통제}}

[[분류:리만 기하학]]
[[분류:다양체 상의 구조]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]