사다리 연산자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{양자역학}}
[[양자역학]]에서 '''사다리 연산자'''({{llang|en|ladder operator}})는 어떤 [[연산자]]의 한 [[고유벡터]]를 다른 고유벡터로 바꾸는 연산자다. [[고윳값]]을 증가시키는 '''올림 연산자'''({{llang|en|raising operator}})와 감소시키는 '''내림 연산자'''({{llang|en|lowering operator}})가 있다. 이를 써서 주어진 연산자의 한 고유벡터로부터 다른 모든 고유벡터를 찾는다.

== 정의 ==
주어진 에르미트 연산자 <math>N</math>에 대하여, 연산자 <math>X</math>가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 <math>X</math>를 <math>N</math>의 '''사다리 연산자'''라고 한다. 
:<math>[N, X] = c X</math>
여기서 ''c''는 어떤 실수이다.

사다리 연산자는 ''N''에 대한 [[고윳값]]이 ''n'' 인 [[고유벡터]] |''n''〉의 고유값을 ''c'' 만큼 변화시키는 역할을 한다.
:<math>
\begin{align}
NX|n\rangle &= (XN+[N,X])|n\rangle\\
&= XN|n\rangle + [N,X]|n\rangle\\
&= Xn|n\rangle + cX|n\rangle\\
&= (n+c)X|n\rangle.
\end{align}
</math>
즉, 
:<math>X |n\rangle\sim|n+c\rangle</math>
이다. ''c'' 가 양수인 경우 <math>X</math>는 고유벡터의 고유값을 증가시키기 때문에 <math>X</math>를 올림 연산자, ''c''가 음수인 경우 <math>X</math>는 고유벡터의 고유값을 감소시키기 때문에 <math>X</math>를 내림 연산자라 한다.

사다리 연산자 <math>X</math>의 에르미트 수반 연산자 <math>X^\dagger</math> 또한 사다리 연산자이며
:<math>[N,X^\dagger]=-cX^\dagger</math>
고유벡터의 고유값을 <math>X</math>의 반대방향인 -''c''만큼 변화시키는 역할을 한다.

사다리 연산자가 존재하면, <math>N</math>의 특정 고유벡터로부터 사다리 연산자를 사용해 다른 고유벡터를 유추할 수 있다. 예를 들어, <math>c < 0</math>이며 <math>N</math>의 최대 고윳값을 가진 고유벡터 <math>|n_{\text{max}}\rangle</math>가 알려져 있으면 다른 상태들을 내림 연산자 <math>X</math>를 사용하여
:<math>|n\rangle,X |n\rangle, X ^2|n\rangle,\cdots</math>
와 같이 유추할 수 있다. 최소 고윳값의 경우도 반대로 올림 연산자<math>X^\dagger</math>를 사용하여 마찬가지로 나머지 상태들을 알아낼 수 있다.

== 예 ==
=== 양자 조화 진동자 ===
{{본문|양자 조화 진동자}}
사다리 연산자의 가장 단순한 예는 정준 교환 관계
:<math>[x,p]=i</math>
의 표현이다. 이는 [[하이젠베르크 군]]의 [[리 대수]]에 해당한다. 이 경우, '''소멸 연산자''' <math>a</math>와 '''생성 연산자''' <math>a^\dagger</math> 및 '''입자수 연산자''' <math>N</math>을 다음과 같이 정의하자.
:<math>a=(x+ip)/\sqrt2</math>
:<math>a^\dagger=(x-ip)/\sqrt2</math>
:<math>N=a^\dagger a</math>
여기서 <math>N</math>은 (질량과 [[각진동수]]를 1로 놓은) [[양자 조화 진동자]]의 진동 모드 수이며, <math>x</math>와 <math>p</math>는 그 위치 및 운동량이다. 그렇다면
:<math>[N,a]=-a</math>
:<math>[H,a^\dagger]=a^\dagger</math>
:<math>[a,a^\dagger]=1</math>
이다. 따라서, <math>N</math>의 고유벡터 <math>|n\rangle</math>이 주어지면
:<math>a^\dagger|n\rangle\propto|n+1\rangle</math>
:<math>a|n\rangle\propto|n-1\rangle</math>
:<math>N|n\rangle=n|n\rangle</math>
이 된다. 즉, 바닥 상태 <math>|0\rangle</math>으로부터 생성 연산자를 가해, [[하이젠베르크 군]]의 [[군의 표현|표현]]을 지을 수 있다.
:<math>\mathcal H=\operatorname{Span}\left\{|0\rangle,a^\dagger|0\rangle,(a^\dagger)^2|0\rangle,\dots\right\}</math>

=== 각운동량 ===
{{본문|각운동량 연산자}}
[[양자역학]]에서, [[각운동량]]의 이론은 회전군 [[SO(3)]] 또는 Spin(3)=[[SU(2)]]의 [[군 표현론]]에 의하여 결정된다. 이 경우, [[각운동량 연산자]] <math>J_1,J_2,J_3</math>은 SU(2)의 [[리 대수]]
:<math>[J_i,J_j]=i\epsilon^{ijk}J_k</math>
를 따른다. 이 경우, 다음과 같은 사다리 연산자를 정의한다.
:<math>J_+ = J_1 + iJ_2</math>,
:<math>J_- = J_1 -  iJ_2=(J_+)^\dagger</math>
그렇다면 이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.
:<math>[J_3,J_\pm] = \pm J_\pm</math>
따라서, 상태들을 <math>J_3</math>의 고유상태 <math>|m\rangle</math>로 나타내면,
:<math>J_\pm|m\rangle\propto|m\pm1\rangle</math>
이 된다. '''최고 스핀 상태''' <math>|l\rangle</math>는 <math>J_+</math>로 상쇄되는 상태이다.
:<math>J_+|l\rangle=0</math>
그렇다면 최고 스핀 상태로부터 시작하여, 내림 연산자를 가해 SU(2)의 [[군의 표현|표현]]을 지을 수 있다.
:<math>\mathcal H=\operatorname{Span}\left\{|l\rangle,J_-^\dagger|0\rangle,(J_-)^2|0\rangle,\dots\right\}</math>
SU(2)의 표현이 유한하며 모든 상태가 양의 노름을 가지려면, <math>l</math>은 정수 또는 반정수이며, 또한
:<math>(J_-)^{2l+1}|l\rangle=0</math>
이 되어야 한다. 즉, SU(2)의 유한 차원 유니터리 표현은 최대 각운동량 <math>2l\in\mathbb N</math>에 의해 결정되며, 그 차원은 <math>2l+1</math>이다.

=== 단순 리 군 ===
SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 [[리 군]]의 경우로 일반화시킬 수 있다.<ref>{{서적 인용|이름=Howard|성=Georgi|저자링크=하워드 조자이|제목=Lie Algebras in Particle Physics from Isospin To Unified Theories|날짜=1999-10|isbn=978-0738202334|출판사=Westview Press|위치=[[볼더 (콜로라도주)|Boulder, Colorado]]|url=http://www.westviewpress.com/book.php?isbn=9780738202334|총서=Frontiers in Physics|권=54|zbl=0505.00036|판=2}}{{깨진 링크|url=http://www.westviewpress.com/book.php?isbn=9780738202334 }}</ref> 이 경우, [[리 군]]의 [[근계]]의 각 [[단순근]]에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 있으며, 리 군의 표현은 그 '''최고 무게 상태'''({{llang|en|highest-weight state}})로부터 내림 연산자를 사용하여 지을 수 있다.

=== 등각 대수 ===
{{본문|등각 대칭}}
{{본문|등각 장론}}
[[등각 대칭]]은 [[등각 장론]]이 갖는 시공간 대칭이며, 다음과 같다.
:<math>[D,K_\mu]=-iK_\mu</math>
:<math>[D,P_\mu]=iP_\mu</math>
:<math>[K_\mu,P_\nu]=2i\eta_{\mu\nu}D-2iM_{\mu\nu}</math>
:<math>[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu )</math>
:<math>[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu)</math>
:<math>[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})</math>
따라서, <math>-iD</math>에 대하여,
:<math>[-iD,K_\mu]=-K_\mu</math>
:<math>[-iD,P_\nu]=P_\mu</math>
이므로, 특수 등각 변환 <math>K</math>는 내림 연산자, 운동량 <math>P</math>는 올림 연산자가 된다. 방사 양자화({{llang|en|radial quantization}})의 경우 <math>D</math>가 해밀토니언의 역할을 하게 된다. <math>K</math>에 의해 상쇄되는 상태를 '''일차 상태'''({{llang|en|primary state}})라고 하며, 이는 <math>D</math>와 <math>M_{\mu\nu}</math>에 대한 고유벡터이다. 일차 상태가 주어지면 나머지 상태들을 일차 상태에 <math>P</math>를 가해 지을 수 있다. 이러한 나머지 상태들을 '''이차 상태'''({{llang|en|secondary state}})라고 한다.

=== 비라소로 대수 ===
{{본문|2차원 등각 장론}}
[[비라소로 대수]]는 [[2차원 등각 장론]]의 시공간 대칭이며, 다음과 같다.
:<math>[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac c{12}(m+1)m(m-1)\delta_{m+n}\quad(m,n\in\mathbb Z)</math>
따라서, <math>L_0</math>에 대하여, <math>L_n</math>은 내림 연산자, <math>L_{-n}</math>은 올림 연산자이다 (<math>n>0</math>).
:<math>[L_0,L_n]=-nL_n</math>
:<math>[L_0,L_{-n}]=nL_{-n}</math>
등각 장론에서, 최고 무게 상태는 '''일차 상태'''({{llang|en|primary state}}) <math>|h\rangle</math>로 알려져 있으며, <math>L_0</math>의 고윳값 <math>h</math>로 나타내어진다.
:<math>L_0|h\rangle=h|h\rangle</math>
:<math>L_n|h\rangle=0\forall n>0</math>
일차 상태가 주어지면, 비라소로 대수의 표현의 나머지 상태들은 올림 연산자 <math>L_{-n}</math>을 가하여 만들 수 있다.
:<math>\mathcal H_h=\operatorname{Span}\{|h\rangle,L_{-1}|h\rangle,L_{-1}^2|h\rangle,L_{-2}|h\rangle,L_{-1}^3|h\rangle,\dots\}</math>
이러한 표현을 비라소로 대수의 '''[[베르마 가군]]'''이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[양자 조화 진동자]]
* [[슈발레 기저]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성=Griffiths|이름=David J.|제목=Introduction to Quantum Mechanics|출판사=Addison-Wesley|isbn=0131118927|언어=en|날짜=2005|url=http://www.pearsonhighered.com/educator/product/Introduction-to-Quantum-Mechanics/9780131118928.page}}

[[분류:양자역학]]