사다리꼴 공식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|사다리꼴 공식 (미분방정식)}}
[[파일:Integration num trapezes notation.svg|thumb|right|사다리꼴 근사. 적분될 함수의 이계도함수가 음수이므로, 사다리꼴 공식 근사는 실제 정적분보다 더 작다.]]
[[파일:trapezoidal_rule_illustration.png|thumb|right|<math>N=1</math>일 경우의 사다리꼴 근사는 임의의 함수를 [[선형 함수]]로 어림한다.]]
{{미적분학}}
[[수치 해석]]에서 '''사다리꼴 공식'''(-公式, {{llang|en|trapezoidal rule}})은 [[정적분]]을 근사하는 한 [[수치적분]] 방법이다.<ref>{{서적 인용|제목=An introduction to numerical analysis|성=Atkinson|이름=Kendall E.|판=2|언어=en|isbn=0-47162489-6|oclc=17551990}}</ref> 사다리꼴 공식은 적분이 나타내는 넓이를 일련의 [[사다리꼴]]들의 넓이의 합으로 근사한다. 사다리꼴 공식은 [[뉴턴-코츠 공식]]이라는 적분 근사법들의 족(族)의 특수한 경우이며, [[매끄러운 함수]]의 경우 비슷한 계산 복잡도를 갖는 [[심프슨의 법칙]]보다 일반적으로 덜 정확하다. 반면, [[주기 함수]]를 적분할 때 사다리꼴 공식은 특별히 더 정확한데, 이는 [[오일러-매클로린 합산식]]으로 설명이 가능하다. 반면, 비주기적이며, 매끄럽지 않을 수 있는 함수를 적분할 때에는 [[클렌쇼-커티스 구적법]] 또는 [[가우스 구적법]] 따위가 더 적합하다.

== 정의 ==
[[닫힌구간]] <math>[t_0,t_N]</math> 위의 [[적분 가능 함수]]

: <math>f\colon [t_0,t_N]\to \mathbb R</math>

및 수열

: <math>t_0 \le t_1 \le \dotsc \le t_{N-1} \le t_N</math>

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한, 적분

: <math>F = \int_{t_0}^{t_N}f(x)\,\mathrm dx</math>

의 '''사다리꼴 공식 근사'''는 다음과 같다.

: <math>\tilde F = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{(t_{i+1} - t_i) (f(t_{i+1}) + f(t_i))}2</math>

특히, <math>N=1</math>일 때 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.

: <math>\tilde F =  \frac{(t_1 - t_0)(f(t_1) + f(t_0))} 2</math>

== 성질 ==
사다리꼴 공식 근사의 오차

: <math>\tilde F - F</math>

를 생각하자. 만약 <math>f</math>가 <math>\mathcal C^2</math> 함수라면 (즉, 그 2차 도함수가 존재하며 [[연속 함수]]라면), 다음 조건을 만족시키는 <math>\xi\in[t_0,t_N]</math>가 존재한다.

: <math>\tilde F - F = \frac1{12}f''(\xi)\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1} - t_i)^3 </math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
다음과 같은 함수들을 정의하자.

: <math>g_i \colon [0,t_{i+1}-t_i] \to \mathbb R</math>
: <math>g_i(s) = \frac12 s(f(t_i) + f(t_i+s)) - \int_{t_i}^{t_i+t}f(x)\,\mathrm dx</math>

즉,

: <math>\tilde F - F = \sum_{i=0}^{N-1} g_i(t_{i+1}-t_i)</math>

이다. 그러면

: <math>g_i(0) = g_i'(0) = g_i''(0) = 0</math>
: <math>g_i'(s) =\frac12\left(f(t_i) - f(t_i+s)\right)  + \frac12sf'(t_i+s)</math>
: <math>g_i''(s) = \frac12 sf''(t_i+s)</math>

이다. 즉,

: <math>K = \min_{x\in[t_0,t_N]} f''(x)</math>
: <math>L = \max_{x\in[t_0,t_N]} f''(x)</math>

를 정의하면,

: <math>\frac12Ks\le g''_i(s) \le \frac12Ls</math>

이며, 이를 두 번 적분하면

: <math>\frac1{12}Ks^3 \le g_i(s) \le \frac1{12}Ls^3</math>

가 된다. 즉,

: <math>\frac K{12}\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1}-t_i)^3 \le \tilde F-F  \le \frac L{12}\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1}-t_i)^3 </math>

이다. <math>f''</math>가 [[연속 함수]]라고 가정하였으므로, [[중간값 정리]]에 따라

: <math>f''(\xi) = \frac{\tilde F-F}{\sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1}-t_i)^3}</math>

인 <math>\xi\in[t_0,t_N]</math>가 존재한다.
</div></div>
특히, 만약 <math>t_i</math>들이 [[산술 수열]]을 이룬다면,

: <math>\frac1{12}\sum_{i=0}^{N-1}(t_{i+1}-t_i)^3 = \frac{(t_N-t_0)^3}{12}N^{-2}</math>

가 된다. 즉, <math>N\to\infty</math>일 때, 오차는 <math>N^{-2}</math>의 속도로 0으로 수렴한다.

특히, 만약 <math>f''</math>가 항상 양수일 때, 사다리꼴 공식 근사 <math>\tilde F</math>는 <math>F</math>보다 더 작으며, 반대로 <math>f'''</math>가 항상 음수일 때, 사다리꼴 공식 근사 <math>\tilde F</math>는 <math>F</math>보다 더 크다.

== 같이 보기 ==
* [[가우스 구적법]]
* [[뉴턴-코츠 공식]]
* [[롬베르크 적분]]
* [[심프슨 공식]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Trapezium formula}}
* {{매스월드|id=TrapezoidalRule|title=Trapezoidal rule}}

[[분류:수치적분]]