비허리의 부등식 문서 원본 보기

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'''비허리의 부등식'''(Bihari's inequality, -不等式)은 [[헝가리]] 수학자 [[비허리 임레]]({{llang|hu|Bihari Imre}})가 입안하고 증명한 [[부등식]]이다. 이 부등식은 유명한 [[그뢴발의 부등식]] 중 [[적분]] 형식의 일반화로 볼 수 있다.<ref>{{저널 인용| title = A generalization of a lemma of Bellman and its application to uniqueness problems of differential equations | author = I. Bihari | journal = Acta Mathematica Hungarica | year = 1956 | volume = 7 | number = 1 | month = March | pages = 81–94 | doi = 10.1007/BF02022967}}</ref>

== 공식화 ==
''u'' 와 ''&fnof;''를 [0,&nbsp;∞)에서 정의된 음이 아닌 [[연속함수]]라 하고, ''w''를 [0,&nbsp;∞)에서 정의된 연속이며 [[감소함수]]가 아니고 (0,&nbsp;∞)에서 ''w''(''u'')&nbsp;>&nbsp;0을 만족하는 함수라고 하자. 만약 적당한 음이 아닌 [[상수]] ''α''에 대해 ''u'' 가 다음의 부등식을 만족한다면,

: <math>u(t)\leq \alpha+ \int_0^t f(s)\,w(u(s))\,ds,\qquad t\in[0,\infty),</math>

''u''는 다음의 부등식 역시 만족한다.

: <math>u(t)\leq G^{-1}\left(G(\alpha)+\int_0^t\,f(s) \, ds\right),\qquad t\in[0,T],</math>

여기서 함수 ''G''는 다음과 같이 주어진다.

: <math>G(x)=\int_{x_0}^x \frac{dy}{w(y)},\qquad x>0,\,x_0>0, </math>

''G'' 의 역함수 ''G'' <sup>−1</sup> 와 T는 다음 조건을 만족하도록 골라야 한다.

: <math>G(\alpha)+\int_0^t\,f(s)\,ds\in \text{Dom}(G^{-1}),\qquad \forall \, t \in [0,T].</math>

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:부등식]]
[[분류:미분방정식]]
[[분류:해석학 (수학)]]