비표준 해석학 문서 원본 보기

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'''비표준 해석학'''(非標準解析學, {{llang|en|nonstandard analysis}})은 [[초실수]]와 그 위의 [[함수]]에 대하여 연구하는 [[해석학 (수학)|해석학]]의 한 분야이다.

== 정의 ==
<math>\mathbb{R}</math>이 [[실수체]]이고, <math>\mathbb{N}</math>이 [[자연수]]의 [[모노이드]]이라고 하자. 그렇다면 <math>\mathbb{R}^{\mathbb N}</math>은 실수들의 [[수열]]들의 집합이다. [[초실수]]의 [[체 (수학)|체]] <math>{}^*\mathbb R</math>는 <math>\mathbb{R}^{\mathbb N}</math>의 적절한 몫으로 정의된다. 주필터가 아닌 임의의 [[극대 필터]] <math>\mathcal F\subset \mathcal P(\mathbb N)</math>를 고르자. (특히, <math>\mathcal{F}</math>는 [[프레셰 필터]]([[여유한]] 집합들의 [[필터 (수학)|필터]])를 포함한다.) 이러한 [[극대 필터]]는 [[선택 공리]]에 따라 항상 존재하지만, 직접 적을 수는 없다. 이 [[극대 필터]]를 사용하여, 두 수열 <math>u,v\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> 사이에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 줄 수 있다.
:<math>u\sim v\iff\{n\in\mathbb N\colon u_n =v_n\} \in \mathcal F</math>
이 [[동치관계]]에 대한 몫은 곱셈에 대하여 [[체 (수학)|체]]를 이루며, 이를 '''[[초실수]]'''의 체로 정의한다.
:<math>{}^*\mathbb{R}=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}/\mathcal F</math>

== 실해석학의 구현 ==
실해석학에서 극한을 통해 구현되는 표준적인 여러 연산들은 [[초실수]]를 사용하여 대수적으로 정의할 수 있다.

=== 극한과 미분 ===
함수 <math>{}^*f\colon\mathbb R^*\to\mathbb R^*</math>의 <math>a\in\mathbb R^*</math>에서의 '''극한'''은 다음과 같다.
:<math>\lim_{x\to a}{}^*f(x)=L\iff\forall b\approx a\colon f(b)\approx L\qquad(L\in\mathbb R)</math>

함수 <math>{}^*f\colon{}^*\mathbb R\to{}^*\mathbb R</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''연속함수'''라고 한다.
* 모든 <math>x,y\in\mathbb R^*</math>에 대하여, 만약 <math>x\approx y</math>라면 <math>f(x)\approx f(y)</math>이다.

함수 <math>{}^*f\colon{}^*\mathbb R\to{}^*\mathbb R</math> 및 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, 다음이 성립한다고 하자. 임의의 0이 아닌 두 무한소 <math>\epsilon_1,\epsilon_2\in{}^*\mathbb R</math>에 대하여,
:<math>\frac{{}^*f(x+\epsilon_1)-f(x)}{\epsilon_1}
\approx\frac{{}^*f(x+\epsilon_2)-f(x)}{\epsilon_2}</math>
이 경우 <math>{}^*f</math>는 <math>x\in\mathbb R</math>에서 '''미분 가능'''하다고 하고, <math>f</math>의 '''도함수'''는
:<math>{}^*f'(x)=\operatorname{st}\left(\frac{{}^*f(x+\epsilon)-{}^*f(x)}{\epsilon}\right)\in\mathbb R</math>
이다.

[[1차 논리]]로 정의할 수 있는 실함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>에 대하여, 이에 대응하는 비표준 확대
:<math>{}^*f\colon{}^\mathbb R\to{}^*\mathbb R</math>
에 대하여, 다음이 [[동치]]이다.
* <math>\lim_{x\to a}f(x)=b</math>
* <math>\lim_{x\to a}{}^*f(x)=b</math>
또한, 다음이 [[동치]]이다.
* <math>a\in\mathbb R</math>에서 <math>f</math>는 연속함수이다.
* <math>a\in\mathbb R</math>에서 <math>{}^*f</math>는 연속함수이다.
또한, 다음이 동치이다.
* <math>a\in\mathbb R</math>에서 <math>f</math>는 미분 가능하며, <math>f'(a)=b</math>이다.
* <math>a\in\mathbb R</math>에서 <math>{}^*f</math>는 미분 가능하며, <math>f'(a)=b</math>이다.

=== 적분 ===
초실수 체계에서, [[리만 적분]]은 ''a'',&nbsp;''a&nbsp;+&nbsp;dx'',&nbsp;''a&nbsp;+&nbsp;2dx'', ... ''a&nbsp;+&nbsp;ndx'' 등으로 나누어지는 [[무한소]]의 격자들의 합으로 정의된다. 여기서 ''dx''는 무한소이며, ''n''은 무한의 [[초정수]]이며, 적분 구간의 하한 ''a'' 와 상한 ''b''&nbsp;=&nbsp;''a''&nbsp;+&nbsp;''n''&nbsp;''dx''인 관계를 따른다.<ref>{{서적 인용|성=Keisler|이름=H. Jerome|날짜=1994|장=The hyperreal line|제목=Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua|쪽=207–237|총서=Synthèse Library|권=242|출판사=Kluwer|편집자=Philip Ehrlich|isbn=978-90-481-4362-7|doi=10.1007/978-94-015-8248-3_8|zbl=0964.03535|mr=1340464|언어=en}}</ref>

== 예 ==
함수 <math>f(x)=x^2</math>의 도함수는 비표준적으로 다음과 같이 계산할 수 있다. <math>dx\in{}^*\mathbb R</math>가 임의의 무한소라고 하자. 그렇다면 임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여 다음과 같다.
:<math>f'(x)=\operatorname{st}\left(\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}\right)=\operatorname{st}(2x+dx)=2x</math>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[초실수]]

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{eom|title=Non-standard analysis}}

{{수학 분야}}
{{전거 통제}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:체론]]
[[분류:무한]]
[[분류:실폐체]]