비틀림 텐서 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|곡선 비틀림||공간 곡선의 비틀림}}
[[미분기하학]]에서 '''비틀림 텐서'''({{llang|en|torsion tensor}})는 [[주다발]]의 [[코쥘 접속]]이 [[레비치비타 접속]]에서 얼마나 벗어나는지를 측정하는, (1,2)차 [[텐서장]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>M</math>의 [[주다발]] <math>\mathrm TM</math> 위의 [[코쥘 접속]] <math>\nabla</math>
그렇다면, <math>\nabla</math>의 '''비틀림 텐서'''는 다음과 같은 (1,2)-[[텐서장]] ([[벡터 값 미분 형식|<math>\mathrm TM</math>값 이차 형식]])
:<math>T\in\operatorname\Gamma(\mathrm TM\otimes\mathrm T^*M\otimes\mathrm T^*M)</math>
이다.
:<math>T(X,Y) = \nabla_XY -\nabla_YX - [X,Y]\qquad(X,Y\in\Gamma(\mathrm TM))</math>
여기서
* <math>[X,Y]</math>는 [[리 미분]]이다.
성분으로 적으면 다음과 같다. 우선, 코쥘 접속의 성분이
:<math>(\nabla_\mu X)^\nu = \partial_\mu X^\nu + \Gamma^\nu_{\mu\rho}X^\rho</math>
라고 하자. 또한, 국소적으로 (홀로노믹) 좌표를 잡자. 그렇다면,
:<math>T(X,Y)^\nu = T^\nu{}_{\mu\rho}X^\mu Y^\rho</math>
:<math>T^\nu{}_{\mu\rho} = \Gamma^\nu_{\mu\rho} - \Gamma^\nu_{\rho\mu} = 2\Gamma^\nu_{[\mu\rho]}</math>
이다.

보다 일반적으로, 임의의 [[필바인]]
:<math>e^\mu_1\,\dotsc,e^\mu_n \in\Gamma(\mathrm TM)</math>
을 잡자. 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
:<math>[e_a,e_b]^\mu = \gamma^c_{ab} e_c^\mu </math>
:<math>e^\mu_a(\nabla_\mu e^b)_\nu = \omega^b{}_{ac}e_\nu^c</math>
여기서 <math>\omega</math>는 [[스핀 접속]]이다.

그렇다면, 이 기저에서 비틀림 텐서는 다음과 같다.
:<math>T^c{}_{ab} = \omega^c_{ab} - \omega^c_{ba} - \gamma^c_{ab}</math>

== 성질 ==
비틀림 텐서는 (1,2)차 [[텐서장]]이며, 그 두 개의 아래 지표는 서로 반대칭이다. 즉, [[벡터 값 미분 형식|<math>\mathrm TM</math>값]]의 2차 미분 형식을 이룬다.
:<math>T^i{}_{jk} = -T^i{}_{kj}</math>
즉, <math>n</math>차원의 다양체에서 그 성분은 총 <math>n\times n\times (n-1)/2</math>개이다. 특히, 1차원 이하의 경우 비틀림 텐서는 항상 0이다. (2차원 이상의 경우 비틀림이 ≠0일 수 있다.)

=== 비안키 항등식 ===
[[아핀 다양체]] <math>(M,\nabla)</math>의 [[리만 곡률]]
:<math>R(X,Y)Z = [\nabla_X,\nabla_Y]Z - \nabla_{[X,Y]}Z</math>
을 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 '''비안키 항등식'''(Bianchi恒等式, {{llang|en|Bianchi identity}})이 성립한다.
:<math>\operatorname{Cyc}_{X,Y,Z}
\left[
R(X,Y)Z - T(T(X,Y),Z) - (\nabla_XT)(Y,Z)
\right] = 0</math>
:<math>\operatorname{Cyc}_{X,Y,Z}
\left[
(\nabla_XR)(Y,Z) + R(T(X,Y),Z)
\right] = 0</math>
여기서
:<math>\operatorname{Cyc}_{X,Y,Z}[ X \dotso Y \dotso Z] = X \dotso Y \dotso Z + Y \dotso Z \dotso X + Z\dotso X\dotso Y</math>
는 <math>(X,Y,Z)</math>를 순환에 따라 치환한 합을 뜻한다.

== 예 ==
[[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 [[레비치비타 접속]]의 비틀림은 0이다.

== 같이 보기 ==
* [[리만 곡률 텐서]]
* [[레비치비타 접속]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Torsion tensor}}
* {{매스월드|id=TorsionTensor|title=Torsion tensor}}
* {{nlab|id=torsion of a metric connection|title=Torsion of a metric connection}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:접속 (수학)]]