비조화비 문서 원본 보기

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[[사영기하학]]에서, '''비조화비'''(非調和比, {{llang|en|anharmonic ratio}}) 또는 '''복비'''(複比, {{llang|en|double ratio}})는 같은 직선 위에 있는 네 점의 유일한 사영 불변량이다.

== 정의 ==
같은 실수 또는 복소 직선 위에 있는 네 점 <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math>의 '''비조화비''' <math>(z_1,z_2;z_3,z_4)</math>는 다음과 같다.
:<math>(z_1,z_2;z_3,z_4)=\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)}</math>

== 대칭군의 작용 ==
네 점의 순서를 바꾸면, 비조화비 <math>\lambda</math>는 다음과 같이 변환한다.
{| style="margin-left: 2em;"
| <math>(z_1, z_2; z_3, z_4) = \lambda</math>
| width=50px |
| <math>(z_1, z_2; z_4, z_3) =1/\lambda</math>
|-
| <math>(z_1, z_3; z_4, z_2) = 1/(1-\lambda)</math> ||
| <math>(z_1, z_3; z_2, z_4) = 1-\lambda</math>
|-
| <math>(z_1, z_4; z_3, z_2) =\lambda/(\lambda-1)</math> ||
| <math>(z_1, z_4; z_2, z_3) =(\lambda-1)/\lambda</math>
|}
이는 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>S_4</math>의 [[군의 작용|작용]]으로 볼 수 있다. 다만, <math>S_4</math> 가운데 일부 원소들은 자명하게 작용한다.
:<math>(z_1,z_2;z_3,z_4) = (z_2,z_1;z_4,z_3) = (z_3,z_4;z_1,z_2) = (z_4,z_3;z_2,z_1)</math>
<math>S_4</math>의 작용의 [[핵 (수학)|핵]]은 [[클라인 4원군]] <math>(\mathbb Z/2)^2</math>이며, 따라서 이는 사실 <math>S_4/(\mathbb Z/2)^2\cong S_3</math>의 작용이 된다. 이 군을 '''비조화군'''(非調和群, {{llang|en|anharmonic group}})이라고 하며, 이는 [[모듈러 군]] <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)=\langle S,T|S^2=(ST)^3=1\rangle</math>의 [[꼬임 부분군]] <math>\langle S,ST|S^2=(ST)^3=1\rangle</math>에 대응한다.

=== 조화비 ===
비조화군의 작용의 궤도 <math>\{\lambda^{\pm1},(1-\lambda)^{\pm1},(\lambda/(\lambda-1))^{\pm1}\}</math>는 보통 크기가 6이지만, 예외적인 경우 크기가 이보다 작을 수 있다.

이러한 궤도는 세 가지가 있다.
* 첫 번째 예외적 궤도는 <math>\{0,1,\infty\}</math>이며, 이는 네 좌표 <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> 가운데 둘이 서로 겹치는 경우이다.
* 두 번째 예외적 궤도는 <math>\{-1,1/2,2\}</math>이며, 이를 '''조화비'''(調和比, {{llang|en|harmonic ratio}})라고 한다. 이는 차수가 2인 원소 <math>\lambda\mapsto1/\lambda</math>, <math>\lambda\mapsto1-\lambda</math>, <math>\lambda\mapsto\lambda/(1-\lambda)</math>에 대응한다.
* 세 번째로, 복소수체에 대한 경우 궤도 <math>\{\exp(\pm\pi i/3)\}</math>가 있다. 이는 차수가 3인 원소 <math>\lambda\mapsto1/(1-\lambda)</math> 및 <math>\lambda\mapsto(\lambda-1)/\lambda</math>에 대응한다.

== 응용 ==
[[쌍곡기하학]]의 [[벨트라미-클라인 모형]]에서, 두 점 사이의 쌍곡 거리는 이 두 점 사이의 (유클리드) 비조화비에 의해 주어진다.

복소 평면에서, 세 개의 점 <math>e_1,e_2,e_3\in\mathbb C</math>을 잡으면, [[바이어슈트라스 타원함수]] <math>\wp(-;\omega_1,\omega_2)\colon\mathbb C/\langle\omega_1,\omega_2\rangle\to\mathbb C</math>는 <math>\{e_1,e_2,e_3,\widehat\infty\}</math>를 [[분지절단|분지점]]으로 하는, 복소 평면에서 [[타원 곡선]] <math>\mathbb C/\langle\omega_1,\omega_2\rangle</math>으로 가는 2겹 [[분지 피복]]을 정의한다. 이 경우, 분지점들의 비조화비는 [[모듈러 람다 함수]]에 의해 주어지며, 그 값은 비조화군의 작용에 따라 변환한다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=What is … a cross-ratio?|이름=François|성=Labourie|url=http://www.ams.org/notices/200810/tx081001234p.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=2008|호=10|쪽=1234–1235|날짜=2008-11|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cross ratio}}
* {{eom|title=Harmonic quadruple}}
* {{매스월드|id=CrossRatio|title=Cross ratio}}

{{전거 통제}}

[[분류:사영기하학]]
[[분류:비 (수학)]]