비에트 정리 문서 원본 보기

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[[대수학]]에서 '''비에트 정리'''({{llang|en|Viète’s theorem}}) 또는 '''근과 계수와의 관계'''는 [[다항 방정식]]의 [[근 (수학)|근]]에 대한 [[기본 대칭 다항식]]과 다항 방정식의 계수 사이의 관계를 나타내는 일련의 공식이다. 16세기 프랑스의 수학자 [[프랑수아 비에트]]에 의해 공식이 증명되었다.

== 정의 ==
음이 아닌 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>n</math>차 [[복소수]] [[다항식]]
:<math>p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbb C[x]\qquad(a_i\in\mathbb C,\;a_n\ne 0)</math>
이 주어졌다고 하자. [[대수학의 기본 정리]]에 따라, 이는 (중복도를 감안하면) <math>n</math>개의 [[영점]] <math>x_1,\dots,x_n\in\mathbb C</math>를 갖는다. '''비에트 정리'''에 따르면, 각 <math>k\in\{1,\dots,n\}</math>에 대하여, 영점 <math>x_1,\dots,x_n</math>을 <math>k</math>차 [[기본 대칭 다항식]]에 대입한 값은 <math>(-1)^ka_{n-k}/a_n</math>과 같다.
:<math>\sum_{i\in\{1,\dots,n\}^k}^{i_1<i_2<\cdots<i_k}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}</math>
즉, 다음 <math>n</math>개의 등식이 성립한다.
:<math>x_1+x_2+\cdots+x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}</math>
:<math>x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>(x_1\cdots x_{n-1})+(x_1\cdots x_{n-2}x_n)+\cdots+(x_2\cdots x_n)=(-1)^{n-1}\frac{a_1}{a_n}</math>
:<math>x_1x_2\cdots x_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}</math>

== 증명 ==
다음 등식 양끝의 다항식의 각 <math>x^k</math>의 계수를 비교하면 비에트 정리를 얻는다.
:<math>\begin{align}
& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 \\
={} & p(x) \\
={} & a_n(x-x_1)\cdots(x-x_n) \\
={} & a_n(x^n-(x_1+\cdots+x_n)x^{n-1}+\cdots+(-1)^nx_1\cdots x_n)
\end{align}</math>

== 예 ==
=== 일차 방정식 ===
(일차항 계수가 0이 아닌) [[복소수]] 계수 [[일차 방정식]]
:<math>ax+b=0</math>
은 유일한 복소수 해
:<math>x_1=-\frac ba</math>
를 가진다. 이 경우 비에트 정리는 위 등식과 일치한다.

=== 이차 방정식 ===
(이차항 계수가 0이 아닌) [[복소수]] 계수 [[이차 방정식]]
:<math>ax^2+bx+c=0</math>
의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 <math>x_1,x_2</math>라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.
:<math>x_1+x_2=-\frac ba</math>
:<math>x_1x_2=\frac ca</math>

=== 삼차 방정식 ===
(삼차항 계수가 0이 아닌) [[복소수]] 계수 [[삼차 방정식]]
:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 <math>x_1,x_2,x_3</math>이라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.
:<math>x_1+x_2+x_3=-\frac ba</math>
:<math>x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac ca</math>
:<math>x_1x_2x_3=-\frac da</math>

=== 사차 방정식 ===
(사차항 계수가 0이 아닌) [[복소수]] 계수 [[사차 방정식]]
:<math>ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0</math>
의 (중복도를 감안한) 복소수 근을 <math>x_1,x_2,x_3,x_4</math>라고 하자. 이 경우 비에트 정리는 다음과 같다.
:<math>x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac ba</math>
:<math>x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac ca</math>
:<math>x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\frac da</math>
:<math>x_1x_2x_3x_4=\frac ea</math>

== 역사 ==
[[프랑수아 비에트]]가 양의 근에 대하여 증명하였다.<ref name="Viète">{{서적 인용
|url=https://archive.org/details/bub_gb_25iHrtJpy9oC
|성=Viète
|이름=François
|저자링크=프랑수아 비에트
|편집자-성=van Schooten
|편집자-이름=Frans
|제목=Opera mathematica
|언어=la
|출판사=Ex Officinâ Bonaventurae & Abrahami Elzeviriorum
|위치=Leiden
|날짜=1646
}}</ref> 알베르 지라르({{llang|fr|Albert Girard}})가 일반적인 경우를 증명하였다.<ref name="Girard">{{서적 인용
|url=https://archive.org/details/inventionnouvel00giragoog
|성=Girard
|이름=Albert
|편집자-성=Bierens de Haan
|편집자-이름=David
|제목=Invention nouvelle en l'algèbre
|언어=fr
|출판사=Imprimé chez Muré frères
|위치=Leiden
|날짜=1884
}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[데카르트 부호 법칙]]
* [[뉴턴 항등식]]
* [[가우스-뤼카 정리]]
* [[유리근 정리]]
* [[대칭 다항식]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=근과 계수와의 관계}}
* {{eom|title=Viète theorem}}
* {{매스월드|id=VietasFormulas|title=Vieta's formulas}}
* {{플래닛매스|urlname=vietasformula|title=Vieta's formula}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfVietasFormula|title=Proof of Vieta's formula}}

[[분류:다항식]]
[[분류:초등대수학]]