비르팅거 부등식 (실함수) 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''비르팅거 부등식'''은 [[푸리에 해석]]에서 사용되는 [[부등식]]이다. [[빌헬름 비르팅거]]의 이름을 따서 명명되었다. [[등주부등식]]을 증명하기 위해 1904년에 사용되었다. 밀접하게 관련된 다양한 결과는 오늘날 비르팅거 부등식으로 알려져 있다.

== 정리 ==
=== 첫 번째 형태 ===
주기가 <math>2\pi</math>인 [[주기함수]]  <math>f\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>가 [[연속 함수]]이고 <math>\mathbb R</math> 전체에 걸쳐 연속 도함수를 가지며 다음을 만족한다고 하자.

: <math>\int_0^{2\pi}f(x) \, dx = 0.</math>

그렇다면 다음 부등식이 성립한다.

: <math>\int_0^{2\pi}f'^2(x) \, dx \ge \int_0^{2\pi}f^2(x) \, dx</math>

이 부등식에서 등식이 성립할 [[필요충분조건]]은 어떤 <math>a</math>, <math>b</math>에 대하여 <math>f(x)=a\sin x+b\cos x</math>인 것이며, 이는 어떤 <math>c</math>와 <math>d</math>에 대하여 <math>f(x)=c\sin(x+d)</math>인 것과 [[동치]]이다.

비르팅거 부등식의 이 형태는 최적의 상수에 대한 1차원 [[푸앵카레 부등식]]이다.

=== 두 번째 형태 ===
이와 관련된 다음 부등식도 또한 비르팅거 부등식이라고 한다. {{하버드 인용|Dym|McKean|1985}} <math>f</math>가 <math>f(0)=f(a)=0</math>을 만족하는 <math>\mathcal C^1</math> 함수일 때마다

: <math>\pi^{2}\int_0^a |f|^2 \le a^2 \int_0^a|f'|^2</math>

이 형태의 비르팅거 부등식은 [[프리드리히의 부등식]]의 1차원 꼴과 같다.

=== 증명 ===
두 부등식의 증명은 비슷하다. 다음은 첫 번째 형태에 대한 증명이다. [[디리클레의 조건]]이 충족되므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

: <math>f(x)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n\ge 1}\left(a_n\frac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}+b_n\frac{\cos nx}{\sqrt{\pi}}\right),</math>

게다가 <math>f</math>의 적분이 소멸하기 때문에 <math>a_0=0</math>이다. [[파르스발 항등식]]에 의해

: <math>\int_0^{2\pi}f^2(x)dx=\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)</math>

이며

: <math>\int_0^{2\pi}f'^2(x) \, dx = \sum_{n=1}^\infty n^2(a_n^2+b_n^2)</math>

두 급수의 항에 대하여 부등식하므로 원하는 부등식을 얻는다. 등식이 성립하는 경우는 모든 항이 같은 경우, 즉 모든 <math>n\ge 2</math>에 대하여 <math>a_n=b_n=0</math>인 경우이다.

== 참고 문헌 ==
* {{인용|first1=H|last1=Dym|authorlink1=Harry Dym|first2=H|last2=McKean|title=Fourier series and integrals|publisher=Academic press|year=1985|isbn=978-0-12-226451-1}}
* Paul J. Nahin (2006) ''Dr. Euler's Fabulous Formula'', page 183, Princeton University Press {{ISBN|0-691-11822-1}}
* Komkov, Vadim (1983) Euler's buckling formula and Wirtinger's inequality. Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 14, no. 6, 661–668.

[[분류:해석학 정리]]
[[분류:부등식]]
[[분류:푸리에 해석학]]