비각운동량 문서 원본 보기

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[[천체역학|천체 역학]]에서 '''비각운동량''' <math> \vec{h} </math>는 [[이체 문제]]의 분석에서 중추적인 역할을 한다. [[고전역학|뉴턴 역학]]에서 이러한 물리량이 이상적인 궤도에 대한 상수 벡터임을 보일 수 있다. 이는 본질적으로 [[케플러의 행성운동법칙|케플러의 제2법칙을]] 증명해준다.

이 값은 [[각운동량]] <math> \vec{L} </math>이 아니라 각운동량에 질량을 나눈 값이므로 ''비''각운동량이라고 한다''.'' 따라서 "비"라는 단어는 "질량비" 또는 질량으로 나눈 것임을 뜻한다.

: <math> \vec{h} = \frac{\vec{L}}{m} </math>

따라서 [[국제단위계|SI 단위]]는 [[미터|m]] <sup>2</sup> · [[초 (시간)|s]] <sup>−1</sup>이다. <math> m </math>은 [[환산 질량]] <math> \frac{1}{m} = \frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2} </math>을 나타낸다.

== 정의 ==
상대 비각운동량은 상대 위치 벡터 <math> \vec{r}</math>과 상대 속도 벡터 <math> \vec{v} </math>의 [[벡터곱|외적]]으로 정의된다.

: <math> \vec{h} = \vec{r}\times \vec{v} = \frac{\vec{L}}{m} </math>

<math> \vec{h}</math> 벡터는 항상 순간 회전 [[궤도면]]과 수직하며, 순간 회전 궤도면은 순간 [[섭동 (천문학)|섭동 궤도]]와 일치한다. 따라서 <math> \vec{h}</math> 벡터는 수년간의 섭동이 포함된 평균 평면과는 수직하지 않는다.

물리학에서 늘 그렇듯이 벡터 <math> \vec{h} </math>의 [[규모|크기]]는 <math> h </math>로 표시된다:

: <math> h = \left \| \vec{h} \right \| </math>

== 이상적인 조건에서 상대 비각운동량이 일정하다는 증명 ==

=== 전제 조건 ===
다음 증명은 뉴턴의 [[만유인력의 법칙|만유인력 법칙]]에도 적용된 단순화 하에서만 유효하다.

점질량 <math> m_1 </math>과 <math> m_2 </math>가 서로 거리 <math> r </math>만큼 떨어져있으며, 중력에 의해 서로 <math> \vec{F} = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} </math>의 힘이 작용한다. 이 힘은 거리에 관계없이 즉시 작용하며 [[물리계|계]]에 존재하는 유일한 힘이다. 좌표계는 [[관성의 법칙]]을 만족한다.

추가적인 단순화를 위해 <math> m_1 \gg m_2 </math>를 가정한다. 따라서 좌표계의 원점에서 <math> m_1 </math>은 중심체이며, <math> m_2 </math> 주위를 도는 [[인공위성|위성이다.]] 이때 환산질량은 <math> m_2 </math>와 같다. 그리고 2체 문제의 방정식은 다음과 같이 써진다.

: <math> \ddot{\vec{r}} = -\frac{\mu}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} </math>

<math> \mu = Gm_1 </math>은 [[표준 중력 변수]]이며, 거리 벡터 <math> \vec{r} </math> (절대값: <math> r </math>)은 위에서 가정한 조건에 의해 원점(중심체)에서 위성을 가리키게 된다.<ref group="Notes">이러한 가정을 하지 않고도 비각운동량을 유도할 수 있다. 이 경우 표준 중력 상수는 <math> \mu = G\left(m_1 + m_2\right) </math>가 된다.</ref>

때때로 <math> \mu </math>를 환산 질량으로 표기하는 경우도 있기 때문에, 본 글의 표준 중력 변수 <math> \mu </math>를 환산 질량과 혼동하지 않는 것이 중요하다.

=== 증명 ===
[[파일:FlightPathAngle.svg|섬네일| <math> m_1 </math> 주위의 궤도에서 <math> m_2 </math>의 거리 벡터 <math> \vec{r} </math>, 속도 벡터 <math> \vec{v} </math>, [[진근점 이각]] <math> \theta </math>, 비행 경로 각도 <math> \phi </math>. [[타원]]의 가장 중요한 측정값들도 표시되었다(그 중 [[진근점 이각]] <math>\theta</math>은 <math>\nu</math>로 표시되었다).]]
2체 문제의 방정식을 거리 벡터 <math> \vec{r} </math>와 외적하면 상대 비각운동량을 얻는다.

: <math> \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} = - \vec{r} \times \frac{\mu}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} = - \frac{\mu}{r^3} \left( \vec{r} \times \vec{r} \right) </math>

벡터 자체와의 외적(우변)은 0이다. 왼쪽은 곱의 미분법에 따라 다음과 같이 단순화된다.

: <math>
 \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} =
 \dot{\vec{r}} \times \dot{\vec{r}} + \vec{r} \times \ddot{\vec{r}} =
 \frac{\mathrm{d} \left(\vec{r}\times\dot{\vec{r}}\right) }{\mathrm{d}t} = 0
</math>


이는 <math> \vec{r}\times\dot{\vec{r}} </math> 가 일정함을 의미한다(따라서 이는 보존량이다). 그리고 이는 정확히 위성의 비각운동량이다.<ref group="References">{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=PJLlWzMBKjkC|제목=Fundamentals of Astrodynamics and Applications|성=Vallado|이름=David Anthony|연도=2001|출판사=Springer|쪽=24|isbn=0-7923-6903-3}}</ref>

: <math> \vec{h} = \vec{r}\times\dot{\vec{r}} \text{ is const.} </math>

이 벡터는 궤도 평면과 수직이며, 각운동량은 바뀌지 않으므로 궤도 평면도 바뀌지 않는다.

비행 경로 각도 <math> \phi </math>의 정의와 그리고 속도 벡터의 횡단 및 반경 성분(오른쪽 그림 참조)을 통해 2체 문제에 대한 추가적인 통찰을 얻을 수 있다. 다음 세 공식으로도 상대 비각운동량 벡터의 절대값을 계산할 수 있다.

* <math> h = rv\cos\phi </math>
* <math> h = r^2\dot{\theta} </math>
* <math> h = \sqrt{\mu p} </math>

이때 <math>p</math>는 곡선[[원뿔 곡선|의 원뿔 곡선]] 이라고 부른다.

== 케플러의 행성 운동 법칙 ==
케플러의 행성 운동 법칙은 위의 관계를 통해 거의 직접적으로 증명될 수 있다.

=== 제1법칙 ===
증명은 이체 문제의 방정식에서 시작된다. 이번에는 방정식에 상대 비각운동량을 외적한다.

: <math> \ddot{\vec{r}} \times \vec{h} = - \frac{\mu}{r^2}\frac{\vec{r}}{r} \times \vec{h} </math>

좌변은 각운동량은 일정하기 때문에 <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\dot{\vec{r}}\times\vec{h}\right)</math>와 같다.

우변은 다음과 같이 정리할 수 있다:

: <math>
 -\frac{\mu}{r^3}\left(\vec{r} \times \vec{h}\right) =
 -\frac{\mu}{r^3} \left(\left(\vec{r}\cdot\vec{v}\right)\vec{r} - r^2\vec{v}\right) =
 -\left(\frac{\mu}{r^2}\dot{r}\vec{r} - \frac{\mu}{r}\vec{v}\right) =
  \mu \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\vec{r}}{r}\right)
</math>

이 두 식을 동일하게 설정하고 시간이 지남에 따라 적분하면 다음과 같다(이때 적분 상수 <math> \vec{C} </math>또한 고려).

: <math> \dot{\vec{r}}\times\vec{h} = \mu\frac{\vec{r}}{r} + \vec{C} </math>

이제 이 방정식에 <math> \vec{r} </math>을 [[스칼라곱|내적]]하고 재배열하면 다음 식을 얻을 수 있다.

: <math>\begin{align}
       \vec{r} \cdot \left(\dot{\vec{r}}\times\vec{h}\right) &= \vec{r} \cdot \left(\mu\frac{\vec{r}}{r} + \vec{C}\right) \\
 \Rightarrow{} \left(\vec{r}\times\dot{\vec{r}}\right) \cdot \vec{h} &= \mu r + rC\cos\theta \\
 \Rightarrow{}                          h^2 &= \mu r + rC\cos\theta
\end{align}</math>

마지막 식을 정리하면 궤도 방정식을 의미한다.<ref group="References">{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=PJLlWzMBKjkC|제목=Fundamentals of Astrodynamics and Applications|성=Vallado|이름=David Anthony|연도=2001|출판사=Springer|쪽=28|isbn=0-7923-6903-3}}</ref>

: <math> r = \frac{\frac{h^2}{\mu}}{1 + \frac{C}{\mu}\cos\theta} </math>

이것은 반통경(semi-latus rectum) <math> p = \frac{h^2}{\mu} </math>와 이심률 <math> e = \frac{C}{\mu} </math>일 때 극좌표계에서 [[원뿔 곡선|원뿔 단면]]의 방정식이다. 이는 곧 케플러의 제1법칙과 같다.

{{Quote|text=''The orbit of a planet is an ellipse with the Sun at one focus.''|author=[[요하네스 케플러]]|title=Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis|source=<ref group="References" name=":1">{{서적 인용| last = Vallado | first = David Anthony | title = Fundamentals of Astrodynamics and Applications | page = 10 | publisher = Springer | year = 2001 | isbn = 0-7923-6903-3 | url = https://books.google.com/books?id=PJLlWzMBKjkC}}</ref>}}

=== 제2법칙 ===
두 번째 법칙은 상대 비각운동량의 절댓값을 계산하는 세 방정식 중 두 번째 방정식을 사용하면 즉시 도출된다.

두 번째 방정식에 의해 도출된 식 <math> \mathrm{d}t = \frac{r^2}{h} \ \mathrm{d}\theta </math>과 무한소의 각도에서 궤도 내부 영역을 나타내는 식인 <math> \mathrm{d}A = \frac{r^2}{2} \ \mathrm{d}\theta </math>을 다음과 같이 통합할 수 있다.<ref group="References" name=":0">{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=PJLlWzMBKjkC|제목=Fundamentals of Astrodynamics and Applications|성=Vallado|이름=David Anthony|연도=2001|출판사=Springer|쪽=30|isbn=0-7923-6903-3}}</ref>

: <math> \mathrm{d}t = \frac{2}{h}\ \mathrm{d}A </math>

위 식을 문장으로 풀어 쓰면 다음과 같다.

{{Quote|text=''The line joining the planet to the Sun sweeps out equal areas in equal times.''|author=[[Johannes Kepler]]|title=Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis|source=<ref group="References" name=":1" />}}

=== 제3법칙 ===
케플러 제3법칙은 두 번째 법칙에서 바로 유도된다. 위 식을 1회전에 걸쳐 적분하면 [[공전 주기]]를 얻을 수 있다.

: <math> T = \frac{2\pi ab}{h} </math>

<math> \pi ab </math>는 타원의 면적이다. 단반경에 <math> b=\sqrt{ap} </math>를 대입하고, 상대 비각운동량에 <math> h = \sqrt{\mu p} </math>를 대입하면 다음 식을 얻을 수 있다.<ref group="References" name=":0"/>

: <math> T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}} </math>

따라서 위성의 장반경과 공전 주기 사이 관계는 표준 중력 상수만 관여한다. 이는 케플러 제3법칙과 동일하다.

{{Quote|text=''The square of the period of a planet is proportional to the cube of its mean distance to the Sun.''|author=[[요하네스 케플러]]|title=Harmonices Mundi libri V|source=<ref group="References" name=":1" />}}

== 참고 문서 ==
* [[고유 궤도 에너지|궤도 비에너지]], 2체 문제에서 보존된 또 다른 양.
* 고전적인 중심력 문제#특정 각운동량

== 같이 보기 ==
* [[고유 궤도 에너지]]
== 각주 ==
; 내용주
{{각주|group="Notes"}}

; 참조주
{{각주|group="References"}}

{{전거 통제}}

[[분류:궤도]]
[[분류:천체동역학]]
[[분류:각운동량]]