비가환 원환면 문서 원본 보기

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[[비가환 기하학]]에서 '''비가환 원환면'''(非可換圓環面, {{llang|en|noncommutative torus}})은 [[C* 대수]]의 하나다. (가환) [[원환면]] 위에 존재하는 [[연속 함수]]들의 [[C* 대수]]를 일반화한 것이다.<ref>{{서적 인용|장=Non-commutative tori — a case study of non-commutative differentiable manifolds|기타=Contemporary Mathematics 105|제목=Geometric and Topological Invariants of Elliptic Operators|날짜=1990|쪽=191–211|이름=Marc A.|성=Rieffel|출판사=American Mathematical Society|doi=10.1090/conm/105/1047281|chapterurl=http://math.berkeley.edu/~rieffel/papers/non_com_tori.pdf|isbn= 978-0-8218-5112-8|위치=Providence, Rhode Island|mr=1047281|zbl=0713.46046|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|장=Examples of noncommutative manifolds: complex tori and spherical manifolds|arxiv=math/0703849|bibcode=2007math......3849P|제목=An invitation to noncommutative geometry. Lectures of the international workshop on noncommutative geometry, Tehran, Iran, 2005|출판사= World Scientific|zbl=1146.58007|날짜=2008|성=Plazas|이름=Jorge|쪽=419–445|isbn=978-981-270-616-4|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
=== 추상적 정의 ===
단위원을 갖는 복소수 [[C* 대수]]의 범주에서 집합으로 가는 망각 함자를 생각하자.
:<math>U \colon \operatorname{C*Alg} \to \operatorname{Set}</math>
이는 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>F \colon \operatorname{Set} \to  \operatorname{C*Alg}</math>
를 가지며, 이를 통해 자유 [[C* 대수]]를 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 부분 집합이 주어졌을 때, 이를 포함하는 C*-아이디얼을 정의할 수 있으며, 이에 대한 몫은 주어진 생성원과 관계로 생성되는 자유 C* 대수이다.

이제, <math>n</math>개의 생성원 <math>U_1,\dotsc,U_n</math>으로 생성되는 자유 C* 대수 <math>A_n</math>을 생각하자. 반대칭 <math>n\times n</math> 실수 행렬
:<math>\theta \in \mathfrak o(n;\mathbb R)</math>
가 주어졌을 때, 다음과 같은 원소로 정의되는 C* 아이디얼 <math>\mathfrak I_\theta</math>를 생각하자.
:<math>U_iV_j = \exp(2\pi\mathrm i\theta_{ij})U_jV_i</math>
이에 대한 몫인 C* 대수
:<math>A_{n,\theta} = A_n / \mathfrak I_\theta</math>
를 '''<math>\theta</math>로 정의되는 <math>n</math>차원 비가환 원환면'''({{llang|en|<math>n</math>-dimensional noncommutative torus defined by <math>\theta</math>}})이라고 한다.

만약 <math>\theta = 0</math>일 경우, 이는 가환 C* 대수이며, 이는 <math>n</math>차원 [[원환면]] 위의 복소수 값 [[연속 함수]]의 [[C* 대수]]와 동형이다. 원환면의 좌표가
:<math>\mathbb T^n = \mathbb R^n / \mathbb Z^n = \{(x_1+\mathbb Z,\dotsc,x_n+\mathbb Z)\colon x_1,\dotsc,x_n\in\mathbb R\}</math>
일 경우 이 대응은 다음과 같이 고를 수 있다.
:<math>A_{n,0} \mapsto \mathcal C^0(\mathbb T^n,\mathbb C)</math>
:<math>U_i \mapsto \exp(2\pi\mathrm ix_i)</math>

=== 기하학적 정의 ===
[[무리수]] <math>\theta\in\mathbb R</math>가 주어졌다고 하자. 이제, 원 <math>\mathbb S^1 = \{z\in\mathbb C \colon |z|=1\}</math> 위의 복소수 값 [[제곱 적분 가능 함수]]의 [[르베그 공간]]
:<math>\operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C)</math>
를 생각하자. 그 위의 다음과 같은 두 [[유계 작용소]]를 정의할 수 있다.
:<math>U \colon \operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C) \to \operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C)</math>
:<math>V \colon \operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C) \to \operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C)</math>
:<math>Uf(z)=zf(z)</math>
:<math>Vf(z)=f(\exp(-2\pi\mathrm i\theta)z)</math>
즉, 이들은 다음과 같은 교환 관계를 따른다.
:<math>UV=\exp(2\pi\mathrm i\theta)VU</math>
그렇다면, [[유계 작용소]]의 [[C* 대수]] <math>\operatorname B(\operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C))</math> 속에서, <math>U</math>와 <math>V</math>로 생성되는 부분 [[C* 대수]]를 생각할 수 있다. 이는 사실 관계 <math>UV=\exp(2\pi\mathrm i\theta)VU</math>에 의하여 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 C* 대수이다. 이를 '''2차원 비가환 원환면''' <math>\mathbb T^2_\theta</math>라고 한다.

== 성질 ==
두 비가환 원환면 <math>\mathbb T^2_\theta</math>와 <math>\mathbb T^2_{\theta'}</math>는 다음과 같을 경우 서로 [[동형]](isomorphic)이다.
:<math>\theta+\theta'\in\mathbb Z</math> 또는 <math>\theta-\theta'\in\mathbb Z</math>

두 비가환 원환면 <math>\mathbb T_\theta</math>와 <math>\mathbb T_{\theta'}</math>는 다음과 같을 경우 서로 [[강한 모리타 동치|강하게 모리타 동치]](strongly Morita equivalent)이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=math/9803057|제목=Morita equivalence of multidimensional noncommutative tori|bibcode=1998math......3057R|doi=10.1142/S0129167X99000100|이름=Marc A.|성=Rieffel|공저자=Albert Schwarz|issn=0129-167X|저널=International Journal of Mathematics|권=10|호=2|쪽=289|날짜=1999-03|zbl=0968.46060|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Morita equivalence of smooth noncommutative tori|이름=George A.|성=Elliott|공저자=Hanfeng Li|doi=10.1007/s11511-007-0017-9|issn=0001-5962|저널=Acta Mathematica|권=199|호=1|쪽=1–27|mr=2350069|날짜=2007-09|zbl=1137.46030|언어=en}}</ref>
:<math>\theta'=\frac{a\theta+b}{c\theta+d}</math>
여기서
:<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)</math>
이다. 즉, 비가환 원환면의 모리타 동치는 [[모듈러 군]] SL(2,ℤ)를 따른다. 이는 [[M이론]]으로 설명할 수 있다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0106048|doi=10.1103/RevModPhys.73.977|bibcode=2001RvMP...73..977D|issn=0034-6861|저널=Reviews of Modern Physics|권=73|호=4|쪽=977–1029|제목=Noncommutative field theory|이름=Michael R.|성=Douglas|공저자=Nikita A. Nekrasov|날짜=2001-11-29}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://math.vanderbilt.edu/dept/conf/ncgoa07/talks/landi_nc_torus_NCGOA07.pdf|제목=The noncommutative torus|날짜=2007|이름=Giovanni|성=Landi|언어=en|확인날짜=2019-05-10|archive-date=2019-05-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20190510215809/https://math.vanderbilt.edu/dept/conf/ncgoa07/talks/landi_nc_torus_NCGOA07.pdf}}

[[분류:연산자 이론]]
[[분류:비가환 기하학]]