브룬 상수 문서 원본 보기

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'''브룬 상수'''({{lang|en|Brun's constant}})는 [[쌍둥이 소수]]의 [[역수]]를 모두 합한 값이다.

1919년 노르웨이 수학자 [[비고 브룬]](Viggo Brun)은 다음과 같은 쌍둥이 소수의 역수의 합이 수렴한다는 결과를 발표했다. 이 결과를 브룬의 정리라 부른다.

두 개의 연속된 소수, 즉 쌍둥이 소수를 다루므로 보통 <math>B_2</math>라고 표기한다.

<math>B_2 = \left({1\over 3}+{1\over 5}\right)+\left({1\over 5}+{1\over 7}\right)+\left({1\over 11}+{1\over 13}\right)+\left({1\over 17}+{1\over 19}\right)+\cdots</math>

이 값은 대략 1.9021605831에 근접하며, 최초 발표자의 이름을 따 이 상수를 쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수라고 불린다.

만약 이 수가 무한한 수였다면 [[쌍둥이 소수 추측|쌍둥이 소수의 무한성]]이 증명되었을 것이지만, 이 수는 앞에서 봤듯 한 수에 수렴한다.

그러므로 브룬 상수에 의해서 쌍둥이 소수의 무한성은 증명되지도 반증되지도 못한다.

이와 비슷하게 네 쌍 소수(4의 간격을 둔 두 쌍의 쌍둥이 소수)에 대한 브룬 상수 <math>B_4</math>는 다음과 같이 정의된다.

<math>B_4 = \left({1\over 5}+{1\over 7}+{1\over 11}+{1\over 13}\right)+\left({1\over 11}+{1\over 13}+{1\over 17}+{1\over 19}\right)+\cdots</math>

이 값은 대략 0.875088380에 근접한다.


== 브룬 상수의 분리 ==
브룬 상수 <math>B_2</math>를 예약하면,
:<math>B_2=U + L</math>
:<math>U= \sum_{n=>1} {{1}\over{G(n)}}</math>
:<math>L= \sum_{n=>1} {{1}\over{g(n)}}</math>
:<math>G(n)=  6 k +1  , (k=>1) </math>
:<math>g(n)=  6 k -1  , (k=>1) </math>
:<math>U=0.843096 \cdots</math><ref>([[OEIS]])http://oeis.org/A006512</ref>
:<math> L=1.059064 \cdots</math><ref>([[OEIS]])http://oeis.org/A001359</ref>
:<math>B_2=U + L= 1.9021605831\cdots</math>
그리고,

브룬 상수 <math>B</math>를 예약해서,
:<math>B= {{(L-U)}\over{2}} </math>
:<math>={{1}\over{3\cdot5}}+{{1}\over{5\cdot7}}+{{1}\over{11\cdot13}}+\cdots</math>
:<math>= \sum_{n=>1}{{1}\over{P(n)}}</math>
:<math>=0.10798397495\cdots</math><ref>([[OEIS]])http://oeis.org/A209328</ref>

:<math>P(n)= p\cdot (p+2) \qquad , \left\{p=>3\;,p+2=p \;|\; (p,p+2)_1 ,(p,p+2)_2,(p,p+2)_n,\cdots  \right\}</math><ref>([[OEIS]])http://oeis.org/A037074</ref>

== 세쌍둥이 브룬 상수 ==
트리플릿(세쌍둥이, Triplets)브룬 상수는 위의 쌍둥이 브룬상수처럼 규칙적인 일련의 3개의 소수로 이루어지는 소수들의 합의 값이다.<ref>http://oeis.org/A277775</ref>
:<math>B_{3b}=\sum_{}^{} {\left( \left({{1}\over{p_1}}+{{1}\over{p_1+4}}+{{1}\over{p_1+6}}\right) +\left({{1}\over{p_2}}+{{1}\over{p_2+4}}+{{1}\over{p_2+6}}\right)+\left({{1}\over{p_3}}+{{1}\over{p_3+4}}+{{1}\over{p_3+6}}\right)+ \cdots  \right) }</math>
:<math>=\sum_{}^{} {\left( \left({{1}\over{7}}+{{1}\over{11}}+{{1}\over{13}}\right) +\left({{1}\over{13}}+{{1}\over{17}}+{{1}\over{19}}\right)+\left({{1}\over{37}}+{{1}\over{41}}+{{1}\over{43}}\right)+ \cdots  \right) }</math>
:<math>=0.837113212411 \cdots</math>

== 같이 보기 ==
* [[골롬-딕맨 상수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* ([[매스월드]])http://mathworld.wolfram.com/BrunsConstant.html
* ([[OEIS]])https://web.archive.org/web/20130912151429/http://oeis.org/A065421

{{수학 상수}}

[[분류:수학 상수]]
[[분류:수론]]
[[분류:소수]]
[[분류:해석적 수론]]