브라운 표현 정리 문서 원본 보기

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[[호모토피 이론]]에서 '''브라운 표현 정리'''(Brown表現定理, {{llang|en|Brown representability theorem}})는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[호모토피]] 범주 위의 [[함자 (수학)|함자]]가 [[표현 가능 함자]]인지 여부에 대한 [[필요충분조건]]을 제시하는 정리이다.

== 정의 ==
[[점을 가진 공간|점을 가진]] [[연결 공간|연결]] [[CW 복합체]]와 [[호모토피류]]의 범주 <math>\operatorname{hCW^{con}_\bullet}</math>를 생각하자.
이 범주는 모든 [[연결 공간]]의 [[약한 호모토피 동치]]에 대한 호모토피 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다.

이 범주에서 [[점을 가진 집합]]의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>F\colon\operatorname{hCW^{con}_\bullet}\to\operatorname{Set_\bullet^{op}}</math>
가 주어졌다고 하자. '''브라운 표현 정리'''에 따르면, <math>F</math>가 [[표현 가능 함자]]일 [[필요충분조건]]은 <math>F</math>가 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.
* <math>F</math>는 쌍대곱을 보존한다. 즉, <math>\operatorname{hCW^{con}_\bullet}</math>의 [[쌍대곱]]([[쐐기합]])을 <math>\operatorname{Set_\bullet^{op}}</math>의 쌍대곱 (<math>\operatorname{Set_\bullet}</math>의 [[곱 (범주론)|곱]], 즉 [[곱집합]])으로 대응시킨다.
* <math>F</math>는 <math>\operatorname{hCW^{con}_\bullet}</math>의 약한 밂({{llang|en|weak pushout}}, 즉 호모토피 밂)을 <math>\operatorname{Set_\bullet^{op}}</math>의 약한 밂(<math>\operatorname{Set}_\bullet</math>의 약한 당김)으로 대응시킨다.

브라운 표현 정리는 [[연결 공간]] 또는 [[점을 가진 공간]] 조건을 생략한다면 더 이상 성립하지 않는다.<ref>{{인용
 | last1 = Freyd  | first1 = Peter
 | last2 = Heller | first2 = Alex
 | title = Splitting homotopy idempotents II
 | journal = Journal of Pure and Applied Algebra
 | volume = 89 | issue = 1–2 | pages = 93–106
 | year = 1993
 | doi = 10.1016/0022-4049(93)90088-b
 | 언어=en
}}</ref>

== 예 ==
브라운 표현 정리에 따라, 각 [[아벨 군]] <math>G\in\operatorname{Ab}</math> 및 차수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 [[특이 코호몰로지]] <math>\operatorname H^n(-;G)</math>는 [[표현 가능 함자]]를 이룬다. 이를 표현하는 [[CW 복합체]]는 [[에일렌베르크-매클레인 공간]] <math>K(G,n)</math>이다.

== 역사 ==
에드거 헨리 브라운 2세({{llang|en|Edgar Henry Brown, Jr.}})가 1962년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Brown | jstor=1970209| first1=Edgar Henry | title=Cohomology theories | url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1962-05_75_3/page/n50 | mr=0138104  | year=1962 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=75 | pages=467–484 | doi=10.2307/1970209 |언어=en}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Brown representability theorem}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/12/07/brown-representability-i/|제목= Brown representability I |이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2010-12-07|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/12/08/brown-representability-ii/|제목= Brown representability II |이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2010-12-08|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2011/10/10/brown-representability-and-infinity-categories/|제목= Brown representability and infinity-categories |이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2011-10-10|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2012/08/brown_representability.html|제목=Brown representability|이름=Mike|성=Shulman|날짜=2012-08-24|웹사이트=The ''n''-Category Café|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/71812/on-brown-representability-theorem|제목=On Brown representability theorem|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/104866/brown-representability-for-non-connected-spaces|제목=Brown representability for non-connected spaces|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:대수적 위상수학 정리]]