브라우너 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''브라우너 공간'''(Brauner空間, {{llang|en|Brauner space}})은 모든 콤팩트 집합을 포함하는 콤팩트 집합렬을 갖는 [[완비 균등 공간|완비]] [[콤팩트 생성 공간|콤팩트 생성]] [[국소 볼록 공간]] <math>X</math>이다. [[스테레오 공간]]의 이론에서, [[프레셰 공간]]의 개념의 쌍대 개념이다.

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R, \mathbb C\}</math>라고 하자.

<math>\mathbb K</math>-[[국소 볼록 공간]] <math>X</math>가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, <math>\mathbb K</math>-'''브라우너 공간'''이라고 한다.
* <math>X</math>는 ([[균등 공간]]으로서) [[완비 균등 공간]]이다. (여기서 사용된 [[균등 공간]] 구조는 [[아벨 군|아벨]] [[위상군]]의 표준적 균등 공간 구조이다.)
* [[콤팩트 생성 공간|콤팩트 생성]] [[하우스도르프 공간]]이다.
* [[반콤팩트 공간]]이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 [[콤팩트 집합]]의 열 <math>K_0 \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \dotsb \subseteq X</math>이 존재한다. (그러나 이 데이터는 브라우너 공간의 정의에 포함되지 않는다.)
*: 임의의 [[콤팩트 집합]] <math>K\subseteq X</math>에 대하여, <math>K\subseteq K_i</math>인 [[자연수]] <math>i\in\mathbb N</math>가 존재한다. (즉, <math>\min\{i\in\mathbb N\colon K\subseteq K_i\} < \infty</math>이다.)

== 성질 ==
임의의 <math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>X</math>의 [[연속 쌍대 공간]] <math>X^*</math> 위에, <math>X</math>의 모든 [[완전 유계 집합]]에서 [[균등 수렴]]하는 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 부여한 것을 '''스테레오 쌍대 공간'''({{llang|en|stereotype dual space}})이라고 하자.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Akbarov-1">{{harvtxt|S.S.Akbarov|2003}}.</ref><ref name="Akbarov-2">{{harvtxt|S.S.Akbarov|2009}}.</ref>
* [[스테레오 공간]] <math>X</math>이 브라우너 공간이다.
* 스테레오 쌍대 공간 <math>X^*</math>은 [[프레셰 공간]]이다.
즉, 브라우너 공간의 개념은 프레셰 공간의 개념과 서로 쌍대이다.

== 예 ==
=== 국소 콤팩트 공간 위의 측도 공간 ===
[[시그마 콤팩트 공간|시그마 콤팩트]] [[국소 콤팩트 공간]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자. 이제, [[연속 함수]]의 공간
:<math>\mathcal C^0(M, \mathbb K)</math>
위에, 다음과 같은 수렴 [[필요 충분 조건]]으로 정의되는 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 부여하자.
:임의의 [[콤팩트 집합]] <math>K \subseteq M</math>에 대하여, 함수열 <math>f_i \restriction K</math>는 <math>f \restriction K</math>로 [[균등 수렴]]한다.
그렇다면 이는 [[위상 벡터 공간]]을 이룬다. 그 [[연속 쌍대 공간]]
:<math>X = (\mathcal C^0(M, \mathbb K))^*</math>
은 [[측도]]의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 [[필요 충분 조건]]으로 정의되는 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 부여하자.
:임의의 [[콤팩트 집합]] <math>\mathcal K\subseteq  \mathcal C^0(M, \mathbb K)</math>에 대하여, 범함수열 <math>\phi_i \restriction \mathcal K</math>는 <math>\phi_i \restriction \mathcal K</math>로 [[균등 수렴]]한다.
그렇다면, <math>X</math>는 브라우너 공간이다.

=== 매끄러운 다양체 위의 분포 공간 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[매끄러운 함수]]의 공간
:<math>\mathcal C^\infty(M,\mathbb K)</math>
위에, 다음과 같은 수렴 [[필요 충분 조건]]으로 정의되는 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 부여하자.
* 임의의 [[콤팩트 공간]] <math>K\subseteq M</math>에 대하여, 함수열 <math>f_i</math>의 임의의 차수 도함수 <math>\nabla_{X_1}\nabla_{X_2}\dotsb\nabla_{X_n}f_i</math>는 <math>K</math> 위에서 <math>\nabla_{X_1}\dotsb\nabla_{X_n}f</math>로 [[균등 수렴]]한다.
이제, 이 [[위상 벡터 공간]]의 [[연속 쌍대 공간]]
:<math>X = (\mathcal C^\infty(M,\mathbb K))^*</math>
은 [[분포 (해석학)|분포]]의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 [[필요 충분 조건]]으로 정의되는 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 부여하자.
:임의의 [[유계 집합]] <math>\mathcal B\subseteq  \mathcal C^0(M, \mathbb K)</math>에 대하여, 범함수열 <math>\phi_i \restriction \mathcal B</math>는 <math>\phi_i \restriction \mathcal B</math>로 [[균등 수렴]]한다.
그렇다면, <math>X</math>는 브라우너 공간이다.

=== 슈타인 다양체 ===
<math>M</math>이 [[슈타인 다양체]]({{llang|en|Stein manifold}})라고 하자. <math>{\mathcal O}(M)</math>을 <math>M</math>에 있는 콤팩트 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 <math>M</math>에 있는 정칙함수의 공간이라고 두자. <math>{\mathcal O}(M)</math>에 있는 유계 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 <math>M</math>에 있는 해석적 범함수의 쌍대 공간 <math>{\mathcal O}^\star(M)</math>은 브라우너 공간이다.

또한, <math>G</math>를 콤팩트 생성 슈타인 군이라고 하자. <math>G</math>의 지수형 [[정칙 함수]]({{llang|en|exponential-type holomorphic function}})의 공간 <math>{\mathcal O}_{\exp}(G)</math>은 자연위상의 관점에서 볼 때 브라우너 공간이다.<ref name="Akbarov-2" />

== 역사 ==
칼만 조지 브라우너 2세({{llang|en|Kalman George Brauner, Jr.}})가 이 개념을 최초로 연구하였다.<ref name=Brauner>{{harvtxt|K.Brauner|1973}}.</ref> 

== 각주 ==
{{각주}}

* {{서적 인용
 | last = Schaefer
 | first = Helmuth H. <!-- | authorlink = Helmuth Schaefer -->
 | year = 1966
 | title = Topological vector spaces
 | series=
 | volume=
 | publisher = The MacMillan Company
 | location = New York
 | isbn = 0-387-98726-6
}}

* {{서적 인용 |last=Robertson |first=A.P. |author2=Robertson, W.J.|title= Topological vector spaces |series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=53 |year=1964 |publisher= [[Cambridge University Press]] }}
*{{저널 인용|last=Brauner|first=K.|title=Duals of Frechet spaces and a generalization of the Banach-Dieudonne theorem|journal=Duke Math. Jour.|year=1973|volume=40|issue=4|pages=845–855|doi=10.1215/S0012-7094-73-04078-7}}
*{{저널 인용|last=Akbarov|first=S.S.|title=Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra|journal=Journal of Mathematical Sciences|year=2003|volume=113|issue=2|pages=179–349|doi=10.1023/A:1020929201133|url=http://www.springerlink.com/content/k62m72960101g6q2/}}{{깨진 링크|url=http://www.springerlink.com/content/k62m72960101g6q2/ }}
*{{저널 인용|last=Akbarov|first=S.S.|title=Holomorphic functions of exponential type and duality for Stein groups with algebraic connected component of identity|journal=Journal of Mathematical Sciences|year=2009|volume=162|issue=4|pages=459–586|doi=10.1007/s10958-009-9646-1|subscription=yes|url=http://www.springerlink.com/content/u07317731010573l/}}{{깨진 링크|url=http://www.springerlink.com/content/u07317731010573l/ }}

{{함수 해석학}}

{{토막글|수학}}

[[분류:함수해석학]]