뷔퐁의 바늘 문서 원본 보기

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[[파일:Buffon needle.svg|오른쪽|프레임|바늘 <math>a</math>는 선을 가로지르고, 바늘 <math>b</math>는 그렇지 않다.]]
'''뷔퐁의 바늘'''({{llang|fr|L'aiguille de Buffon}})은 18세기에 [[뷔퐁 백작 조르주루이 르클레르|뷔퐁 백작]]이 처음 제기한 문제이다.<ref>''Histoire de l'Acad. Roy. des. Sciences'' (1733), 43–45; ''Histoire naturelle, générale et particulière'' Supplément 4 (1777), p. 46.</ref>

: 너비가 모두 같은 [[평행]]한 [[목재]] 널빤을 깔아 만든 [[마루]]가 있을 때, 그 마루 위에 [[바늘]]을 떨어뜨린다. 바늘이 널빤과 널빤 사이의 선을 가로지를 [[확률]]은 얼마인가?

뷔퐁의 바늘은 최초의 [[기하확률론]] 문제이다. [[적분기하]]를 이용해 풀 수 있으며, 바늘의 길이가 널빤의 너비보다 크지 않을 때, [[몬테카를로 방법]]을 사용하면 [[원주율]]을 근사할 수 있다. 다만 이것은 뷔퐁이 본래 의도한 결과는 아니었다.<ref>{{웹 인용|last1=Behrends|first1=Ehrhard|title=Buffon: Hat er Stöckchen geworfen oder hat er nicht?|url=https://www.mathematik.de/ger/presse/ausdenmitteilungen/artikel/dmvm-2014-0022.pdf|accessdate=14 March 2015}}</ref>

== 풀이 ==
문제를 보다 수학적인 용어로 다시 풀면 이렇다.

: 길이 <math>l</math>의 바늘이 <math>t</math> 간격의 평행선들로 이루어진 평면에 떨어질 때, 바늘이 선을 가로지를 확률은 얼마인가?

바늘 가운데에서 가장 가까운 평행선까지의 거리를 <math>x</math>라 하고, 바늘과 평행선들이 이루는 각도를 <math>\theta</math>로 정의한다.

범위 <math>x = \left[ 0, { t \over 2} \right]</math>의 균등[[확률분포함수]]는
:<math>
\begin{cases}
\frac{2}{t} &:\ 0 \le x \le \frac{t}{2}\\
0 &: \text{elsewhere.}
\end{cases}
</math>

범위 <math>\theta = \left[ 0, { \pi \over 2} \right]</math>의 균등[[확률분포함수]]는
:<math>
\begin{cases}
\frac{2}{\pi} &:\ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\\
0 &: \text{elsewhere.}
\end{cases}
</math>

두 [[확률변수]] <math>x, \theta</math>가 독립이므로 [[결합분포]]는
:<math>
\begin{cases}
\frac{4}{t\pi} &:\ 0 \le x \le \frac{t}{2}, \ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\\
0 &: \text{elsewhere.}
\end{cases}
</math>

고로 바늘이 선을 가로지를 조건은 다음과 같다.

:<math>x \le \frac{l}{2}\sin\theta.</math>

그리고 결과는 조건에 따라 두 가지로 나뉜다.

=== 짧은 바늘 ===
<math>l < t</math>일 때, 결합확률분포함수를 적분하면

:<math>P = \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{x=0}^{(l/2)\sin\theta}  \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta = \frac{2 l}{t\pi}.</math>

이 결과는 "[[뷔퐁의 국수]]"를 이용해서 도출할 수도 있다.

=== 긴 바늘 ===
<math>l > t</math>일 때, 결합확률분포함수를 적분하면

:<math>\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{x=0}^{m(\theta)}  \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta ,</math>
이때 <math>m(\theta) </math>은 범위 <math>\theta = \left[ {l \over 2} \sin \theta , {t \over 2} \right]</math>의 최솟값이다.

상기 적분을 수행하면 <math>t < l</math>일 때, 바늘이 선을 가로지를 확률은

:<math>\frac{2 l}{t\pi} - \frac{2}{t\pi}\left\{\sqrt{l^2 - t^2} + t\sin^{-1}\left(\frac{t}{l}\right)\right\}+1</math>

또는

:<math> \frac{2}{\pi} \cos^{-1}\frac{t}{l} + \frac{2}{\pi} \frac{l}{t} \left\{1 - \sqrt{1 - \left( \frac{t}{l} \right)^2  } \right\}.  </math>

두 번째 표현의 경우, 제1항은 바늘이 적어도 한 개의 선과 겹치게 되는 각도가 나올 확률을 나타낸다. 제2항은 바늘이 위치에 따라 선과 겹칠 수도 있고 안 겹칠 수도 있을 때 그 위치가 겹치는 위치가 될 확률을 나타낸다.

== 같이 보기 ==
* [[베르트랑의 역설 (확률)]]
== 각주 ==
<references/>

{{전거 통제}}
{{토막글|기하학}}

[[분류:확률론]]
[[분류:적분기하학]]
[[분류:응용확률론]]