붙임 공간 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''붙임 공간'''(-空間, {{llang|en|attaching/adjunction space}})은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 [[범주 (수학)|범주]]에서의 [[밂 (범주론)|밂]]이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 [[쌍대올뭉치]]일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 [[호모토피 이론]]적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, [[호모토피 범주]]에서의 [[밂 (범주론)|밂]]을 이루지 않는다.) 이러한 경우, '''호모토피 붙임 공간'''({{llang|en|homotopy adjunction space}})을 사용하여야 한다.

마찬가지로, '''당김 공간'''(-空間, {{llang|en|pullback space}})은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 [[범주 (수학)|범주]]에서의 [[당김 (범주론)|당김]]이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 [[올뭉치]]일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 [[호모토피 이론]]적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, [[호모토피 범주]]에서의 [[당김 (범주론)|당김]]을 이루지 않는다.) 이러한 경우, '''호모토피 당김 공간'''({{llang|en|homotopy pullback space}})을 사용하여야 한다.

== 정의 ==
=== 붙임 공간 ===
같은 [[정의역]]을 가진 두 [[연속 함수]]
:<math>Y\xleftarrow gZ\xrightarrow fX</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[분리합집합]] <math>X\sqcup Y</math> 위에 다음과 같은 [[이항 관계]]를 정의하자.
:<math>f(z)\succ g(z)\qquad\forall z\in Z</math>
이는 일반적으로 [[대칭 관계]]도, [[추이적 관계]]도 아니다. 이를 포함하는 가장 작은 [[동치 관계]]를 <math>\sim</math>라고 표시하자. 즉, <math>x,y\in X\sqcup Y</math>에 대하여, <math>x\sim y</math>라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.
:<math>\forall x\in X,y\in Y\colon\left( x\sim y\iff\exists x_0,\dots,x_k\in X,y_0,\dots,y_k\in Y\colon x=x_0\succ y_0\prec x_1\succ y_1\prec x_2\succ\cdots\succ y_k=y\right)</math>
마찬가지로, <math>x,x'\in X</math>에 대하여 <math>x\sim x'</math>이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.
:<math>\forall x,x'\in X\colon\left( x\sim x'\iff\exists x_0,\dots,x_k\in X,y_1,\dots,y_k\in Y\colon x=x_0\succ y_1\prec x_1\succ y_2\prec x_2\succ\cdots\prec x_k=x'\right)</math>
마찬가지로, <math>y,y'\in Y</math>에 대하여 <math>y\sim y'</math>이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.
:<math>\forall y,y'\in Y\colon\left( y\sim y'\iff\exists x_1,\dots,x_k\in X,y_1,\dots,y_k\in Y\colon y=y_0\prec x_1\succ y_1\prec x_2\succ\cdots\succ y_k=y'\right)</math>

<math>X</math>와 <math>Y</math>의 <math>f</math> 및 <math>g</math>를 통한 '''붙임 공간'''은 [[분리합집합]]의 다음과 같은 [[몫공간]]이다.
:<math>X\cup_{f,g}Y=\frac{X\sqcup Y}{\sim}</math>
이는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[범주 (수학)|범주]]의 [[밂 (범주론)|밂]]을 이룬다.

붙임 공간의 구성에 따라, 붙임 공간은 <math>Z</math>의 위상에 의존하지 않는다. 따라서, <math>Z</math>에 <math>f</math>와 <math>g</math>에 대한 [[시작 위상]]을 부여하거나 [[이산 위상]]을 부여할 수 있다.

=== 호모토피 붙임 공간 ===
붙임 공간은 <math>f</math>나 <math>g</math> 가운데 하나가 [[쌍대올뭉치]]가 아니라면 [[호모토피 이론]]적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 '''호모토피 붙임 공간'''을 사용하여야 한다.

연속 함수
:<math>Y\xleftarrow gZ\xrightarrow fX</math>
가 주어졌을 때, '''호모토피 붙임''' 또는 '''이중 사상 기둥'''({{llang|en|double mapping cylinder}})은 다음과 같다.
:<math>X\cup_f Z\times[0,1]\cup_gY</math>

이 경우, 표준적인 함수
:<math>X\overset f\hookrightarrow X\cup_f Z\times[0,1]\cup_gY</math>
:<math>Y\overset g\hookrightarrow X\cup_f Z\times[0,1]\cup_gY</math>
는 (비호모토피 붙임 공간과 달리) [[쌍대올뭉치]]를 이룬다.

=== 당김 공간 ===
같은 [[공역]]을 가진 두 [[연속 함수]]
:<math>Y\xrightarrow gZ\xleftarrow fX</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 '''당김 공간'''({{llang|en|pullback space}})은 다음과 같은, [[곱공간]] <math>X\times Y</math>의 [[부분 공간]]이다.
:<math>X\times_{f,g}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}\subseteq X\times Y</math>
이는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[범주 (수학)|범주]]의 [[당김 (범주론)|당김]]을 이룬다.

이 경우, 표준적 연속 함수
:<math>X\times_ZY\to X</math>
:<math>X\times_ZY\to Y</math>
가 존재하지만, 이들은 일반적으로 [[올뭉치]]가 아니다.

=== 호모토피 당김 공간 ===
당김 공간은 <math>f</math>나 <math>g</math> 가운데 하나가 [[올뭉치]]가 아니라면 [[호모토피 이론]]적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 '''호모토피 당김 공간'''을 사용하여야 한다.

같은 [[공역]]을 가진 두 [[연속 함수]]
:<math>Y\xrightarrow gZ\xleftarrow fX</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 '''당김 공간'''({{llang|en|pullback space}})은 다음과 같은, [[곱공간]] <math>X\times\operatorname{path}(Z)\times Y</math>의 [[부분 공간]]이다.
:<math>\{(x,\gamma,y)\in X\times\operatorname{path}(X)\times Y\colon \gamma(0)=f(x),\;\gamma(1)=g(y)\}</math>
여기서 <math>X^I</math>는 ([[콤팩트-열린집합 위상]]을 부여한) [[경로 공간]]이다.

== 예 ==
=== 사상뿔 ===
[[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\{\bullet\}\leftarrow X\xrightarrow fY</math>에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 <math>\{\bullet\}</math>은 [[한원소 공간]]이다.)

이에 대한 붙임 공간은 <math>Y</math>의 [[몫공간]] <math>Y/f(X)</math>이다. 그러나 이는 일반적으로 각종 분리 공리를 따르지 않는다.

반면, 호모토피 붙임 공간은 다음과 같은 [[뿔 (위상수학)|뿔]]로 구성된다.
:<math>\operatorname{cone}(X)\cup_fY=\frac{(X\times[0,1])/(X\times\{0\})\sqcup Y}{((x,1)\sim f(x)\;\forall x\in X}</math>
이를 '''사상뿔'''(寫像-, {{llang|en|mapping cone}})이라고 한다. 만약 <math>X</math>와 <math>Y</math>가 각종 분리 공리를 만족시킨다면, 그 사상뿔 역시 각종 분리 공리를 만족시킨다. 이는 호모토피 범주에서의 "몫공간"으로 생각할 수 있다. 사상뿔은 몫공간보다 더 나은 성질을 보이므로, [[상대 호몰로지]] <math>\operatorname H_\bullet(X,A)</math>는 보통 포함 함수 <math>A\hookrightarrow X</math>의 사상뿔의 [[축소 호몰로지]]로 정의된다.

특히, <math>X=Y</math>이며 <math>f=\operatorname{id}_X</math>일 경우, 이는 <math>X</math> 위의 '''뿔'''({{llang|en|cone}}) <math>\operatorname{cone}(X)=X\times[0,1]/(X\times\{0\})</math>이 된다.

=== 사상기둥 ===
[[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>X\xleftarrow{\operatorname{id}}X\xrightarrow fY</math>에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 <math>\operatorname{id}</math>는 [[항등 함수]]이다.)

붙임 공간은 다음과 같은 <math>X\sqcup Y</math>의 [[몫공간]]이며, 이는 <math>Y</math>와 [[위상 동형]]이다.
:<math>X\cup_{\operatorname{id},f}Y=\frac{Y\sqcup X}{f(x)\sim x\;\forall x\in X}\cong Y</math>
호모토피 붙임 공간은 다음과 같이, <math>X</math> 위의 기둥을 <math>Y</math>에 붙인 것이다.
:<math>X\times[0,1]\cup_{f\times\{1\}}Y=\frac{X\times[0,1]\sqcup Y}{f(x)\sim(x,1)\;\forall x\in X}</math>
이를 '''사상기둥'''(寫像-, {{llang|en|mapping cylinder}}) <math>M_f</math>라고 한다.
:<math>\begin{matrix}
X&\xrightarrow f&Y\\
\|&&\downarrow\\
X&\to&M_f
\end{matrix}
</math>

이 경우, [[변형 수축]]
:<math>M_f\to Y</math>
이 존재하며, 따라서 <math>M_f</math>와 <math>Y</math>는 서로 [[호모토피 동치]]이다. 또한,
:<math>\tilde f\colon X\to M_f</math>
는 [[쌍대올뭉치]]를 이룬다.  따라서, 모든 함수는 [[쌍대올뭉치]] 및 [[호모토피 동치]]의 [[함수의 합성|합성]]으로 분해할 수 있다. 이는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[모형 범주]]에서의 [[쌍대올분해]]({{llang|en|cofibrant resolution}})이다.

특히, <math>X=Y</math>이고 <math>f=\operatorname{id}_X</math>일 경우 사상기둥은 단순히 '''기둥''' <math>X\times[0,1]</math>이 된다.

=== 이음 ===
{{본문|이음 (위상수학)}}
[[파일:Join.svg|thumb|right|두 선분(녹색 및 청색으로 표시)의 이음은 위와 같이 [[사면체]]를 이룬다.]]
다음과 같은, [[곱공간]]의 사영 사상의 (호모토피) 붙임 공간을 생각하자.
:<math>X\leftarrow X\times Y\to Y</math>
이에 대한 붙임 공간은 [[한원소 공간]]이다. (이는 [[곱공간]] 사영 사상이 [[쌍대올뭉치]]와 매우 다르기 때문이다.) 반면, 이에 대한 호모토피 붙임 공간
:<math>X*Y=\frac{X\times Y\times[0,1]}{(x,y,0)\sim(x,y',0),\;(x,y,1)\sim(x',y,1)\;\forall x,x'\in X,\;y,y'\in Y}</math>
은 <math>X</math>와 <math>Y</math>의 '''[[이음 (위상수학)|이음]]'''이라고 하며, 일반적으로 [[축약 가능 공간]]이 아니다.

특히, 0차원 [[초구]] <math>\mathbb S^0=\{0,1\}</math>와의 이음은 [[현수 (위상수학)|현수]] <math>\mathbb S^0*X=\operatorname SX</math>라고 한다. 마찬가지로, [[한원소 공간]]과의 이음은 뿔 <Math>\{\bullet\}*X=\operatorname{cone}(X)</math>을 이룬다.

=== 사상 경로 공간 ===
{{본문|함수의 그래프}}
[[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>X\xrightarrow fY\xleftarrow{\operatorname{id}}Y</math>에 대한 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다. (여기서 <math>\operatorname{id}</math>는 [[항등 함수]]이다.)

당김 공간의 경우는 이는 <math>X\times Y</math>의 [[부분 공간]] 위상을 부여한 <math>f</math>의 [[함수의 그래프|그래프]]
:<math>\operatorname{graph}f=\{(x,f(x))\in X\times Y\colon x\in X\}\subseteq X\times Y</math>
이며 따라서 <math>X</math>와 [[위상 동형]]이다.

호모토피 당김 공간의 경우, 이는
:<math>\operatorname{cocyl}f=\{(x,\gamma)\in X\times \operatorname{path}(Y)\colon f(x)=\gamma(0)\}</math>
를 이루며, 이를 '''사상 경로 공간'''(寫像經路空間, {{llang|en|mapping path space}}) 또는 '''사상 쌍대기둥'''({{llang|en|mapping cocylinder}})이라고 한다. 그렇다면, 가환 그림은 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}
X&\to&Y\\
\downarrow&&\|\\
\operatorname{cocyl}f&\to&Y
\end{matrix}</math>
여기서 <math>\operatorname{cocyl}f</math>는 <math>X</math>와 [[약한 호모토피 동치]]이며 <Math>\tilde f\colon\operatorname{cocyl}f\to Y</math>는 [[올뭉치]]이다. 따라서, 모든 함수는 [[호모토피 동치]] 및 [[올뭉치]]의 [[함수의 합성|합성]]으로 분해할 수 있다. 이는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[모형 범주]]에서의 [[올분해]]({{llang|en|fibrant resolution}})이다.

=== 경로 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 두 점 <math>x,x'\in X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>\{\bullet\}\xrightarrow xX\xleftarrow{x'}\{\bullet\}</math>
의 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다.

당김 공간은 단순히 [[한원소 공간]]이다. (이는 점 포함 사상이 [[올뭉치]]와 매우 다르기 때문이다.) 그러나 호모토피 당김 공간은 더 많은 정보를 가진다. 구체적으로, 이는 <math>X</math> 위의, <math>x</math>에서 <math>x'</math>으로 가는 [[경로 (위상수학)|경로]]들의 공간이다. 만약 <math>x=x'</math>이라면, 이 호모토피 당김 공간의 [[경로 연결 성분]]들은 [[기본군]] <math>\pi_1(X,x)</math>을 이룬다.

=== 쐐기합 ===
{{본문|쐐기합}}
[[점을 가진 공간]] <math>(X,x)</math>, <math>(Y,y)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>X\xleftarrow x\{\bullet\}\xrightarrow yY</math>
의 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다.

붙임 공간은 [[쐐기합]] <math>X\vee Y=(X\sqcup Y)/\{x,y\}</math>이다. 호모토피 붙임 공간은
:<math>\frac{X\sqcup Y\sqcup[0,1]}{0\sim x,\;1\sim y}</math>
이다. 즉, 선분 <math>[0,1]</math>의 양끝에 <math>X</math>와 <math>Y</math>를 각각 점에서 붙인 것이다. 이는 [[쐐기합]]과 [[호모토피 동치]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[몫공간]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Mapping-cone construction}}
* {{eom|title=Mapping cylinder}}
* {{nlab|id=homotopy pullback|title=Homotopy pullback}}
* {{nlab|id=mapping cone|title=Mapping cone}}
* {{nlab|id=mapping cylinder|title=Mapping cylinder}}
* {{nlab|id=mapping cocone|title=Mapping cocone}}
* {{nlab|id=cocylinder|title=Cocylinder}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/8684/homotopy-pullbacks-and-homotopy-pushouts|제목=Homotopy pullbacks and homotopy pushouts|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:대수적 위상수학]]