불변 다항식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 대수]] 이론에서, '''불변 다항식'''(不變多項式, {{llang|en|invariant polynomial}})은 어떤 리 대수의 원소를 변수로 가지며, 그 [[딸림표현]] 작용에 대하여 불변인 [[다항식]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 유한 차원 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[쌍대 공간]] <math>\mathfrak g^*</math> 위의 [[대칭 대수]]
:<math>\operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)</math>
를 생각하자. <math>\alpha\in\textstyle\operatorname{Sym}^n\mathfrak g^*</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>\mathfrak g</math>의 '''<math>n</math>차 불변 다항식'''이라고 한다.
:<math>\sum_{i=0}^{n-1}\alpha(x_0,x_1,\dotsc,[x_i,x_{i+1}],\dotsc,x_n) = 0</math>
<math>\mathfrak g</math> 위의 불변 다항식은 각 차수들의 불변 다항식들의 합이다.

=== 베유 대수 ===
유한형 (즉, 각 차수의 차원이 유한한) [[L∞-대수]] <math>\mathfrak g</math>의 '''베유 대수'''({{llang|en|Weil algebra}}) <math>\operatorname W(\mathfrak g)</math>는 다음과 같은 [[미분 등급 대수]]이다. 이는 미분 구조를 잊으면 자유 등급 가환 대수이며, <math>\mathfrak g^*</math>의 동차 원소 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 <math>t^i</math>라고 할 때, <math>\operatorname W(\mathfrak g)</math>의 생성원은 <math>t^i</math> 및 <Math>\delta t^i</math>이다 (<math>\deg \delta t^i = 1+\deg t^i</math>). 또한, 그 미분은 다음과 같다.
:<math>\mathrm dt^i = \mathrm d_{\mathrm{CE}}t^i + \delta t^i </math>
:<math>\mathrm d\delta t^i = -\delta\mathrm d_{\mathrm{CE}}t^i</math>
여기서 <math>\mathrm d_{\operatorname{CE}}</math>란 [[슈발레-에일렌베르크 대수]] <math>\operatorname{CE}(\mathfrak g)</math>의 미분이다. 즉, 이는 <math>\delta^2 = \{\mathrm d,\delta \} = 0</math>을 따른다.

물론, 베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 [[전사 함수|전사]] [[미분 등급 대수]] 준동형
:<math>\operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname{CE}(\mathfrak g)</math>
:<math> t^i \mapsto t^i</math>
:<math> \delta t^i \mapsto 0</math>
이 존재한다.

=== L<sub>∞</sub>-대수의 불변 다항식 ===
유한형 [[L∞-대수|L<sub>∞</sub>-대수]] <math>\mathfrak g</math>의 불변 다항식은 베유 대수 <math>\operatorname W(\mathfrak g)</math>의 원소 <math>\alpha\in\operatorname W(\mathfrak g)</math> 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.<ref name="">{{저널 인용|arxiv=1011.4735|날짜=2011|이름=Domenico|성= Fiorenza|이름2= Urs |성2=Schreiber |이름3= Jim |성3=Stasheff| 제목=Čech cocycles for differential characteristic classes — an ∞-Lie theoretic construction|언어=en}}</ref>{{rp|Definition 4.1.13}}
:<math>\alpha\in\bigwedge\delta\mathfrak g^* \subseteq\operatorname W(\mathfrak g)</math>
:<math>\mathrm d_{\operatorname W(\mathfrak g)} \alpha = 0 </math>
즉, 베유 대수의 닫힌 원소 가운데, <math>\delta\mathfrak g^*</math>만으로 생성되는 것이다.

이는 [[리 대수]]의 경우의 정의를 일반화한다. <math>\mathfrak g</math>가 리 대수인 경우, 불변 다항식은
:<math>\operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)\subseteq\operatorname W(\mathfrak g) = \operatorname{Sym}(\mathfrak g^*) \otimes \bigwedge(\mathfrak g^*)</math>
의 원소이며, 여기서 불변 다항식 조건은 이 원소가 닫힌 원소라는 조건과 [[동치]]이다.

== 성질 ==
[[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{inv}(\mathfrak g)\to\operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname{CE}(\mathfrak g)</math>
는 리 군 <math>G</math>의 [[분류 공간]]
:<math>\mathrm BG\leftarrow\mathrm EG \leftarrow G</math>
의 ([[표수 0]] [[특이 코호몰로지]]의) 모형이다. 즉, 그 ([[공사슬 복합체]]로서의) [[코호몰로지]]는 이 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]들의 (꼬임을 제외한) [[특이 코호몰로지]]와 같다.

다시 말해,
:<math>\operatorname H^\bullet(\operatorname W(\mathfrak g)) = \operatorname H^\bullet_{\text{sing}}(\mathrm EG) = \begin{cases}
0 & \bullet \ne 0\\
K & \bullet = 0
\end{cases}</math>
:<math>\operatorname H^\bullet(\operatorname{CE}(\mathfrak g)) = \operatorname H_{\text{sing}}^\bullet(G;K) = \operatorname H^\bullet_{\text{LieAlg}}(\mathfrak g;K)</math>
:<math>\operatorname{inv}^\bullet(\mathfrak g) = \operatorname H_{\text{sing}}^\bullet(\mathrm BG;K)</math>
이다. (<math>\operatorname{inv}(\mathfrak g)</math>의 원소들은 정의에 따라 모두 닫힌 원소이므로, 코호몰로지를 취할 필요가 없다.) 여기서 <math>\operatorname H_{\text{LieAlg}}^\bullet(-)</math>는 [[리 대수 코호몰로지]]이다.

== 예 ==
[[체 (수학)|체]] <Math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[킬링 형식]]
:<math>B \in \operatorname{Sym}^2\mathfrak g^*</math>
은 2차 불변 다항식이다. 즉,
:<math>B(x,[y,z]) - B([x,y],z) = 0\qquad\forall x,y,z\in\mathfrak  g</math>
이다.

=== 단순 리 대수의 불변 다항식 ===
계수 <math>n</math>의 [[단순 리 대수]]는 <math>n</math>개의 불변 다항식을 가진다. 그 차수는 다음과 같다.<ref>{{서적 인용|성=Humphreys|이름=James E.|날짜=1990|제목=Reflection groups and Coxeter groups|doi=10.1017/CBO9780511623646|isbn=978-0-52143613-7|언어=en}}</ref>{{rp|59, §3.7}}

{| class=wikitable
! [[단순 리 대수]] !! 불변 다항식의 차수
|-
| <math>\mathfrak a_n</math> || 2, 3, …, ''n''+1
|-
| <math>\mathfrak b_n</math>, <math>\mathfrak c_n</math> || 2, 4, 6, …, 2''n''
|-
| <math>\mathfrak d_n</math> || 2, 4, 6, …, 2''n''−2, ''n''
|-
| <math>\mathfrak e_6</math> || 2, 5, 6, 8, 9, 12
|-
| <math>\mathfrak e_7</math> || 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
|-
| <math>\mathfrak e_8</math> || 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
|-
| <math>\mathfrak f_4</math> || 2, 6, 8, 12
|-
| <math>\mathfrak g_2</math> || 2, 6
|}
위 표에서, 첫 2차 불변 다항식은 항상 [[킬링 형식]]이다. “차수”란 다항식의 차수를 뜻한다. 이를 [[L∞-대수]]로 해석할 경우, 각 변수의 등급이 2이므로, [[L∞-대수]]로서의 등급은 다항식 차수의 2배이다. 이 수들은 해당 [[리 대수]]의 콤팩트 형식의 [[유리수]] 계수 [[특이 코호몰로지]] 환을 결정한다. 즉, 만약 불변 다항식의 차수가 <math>d_1,d_2,\dotsc,d_r</math>라면, 리 군의 [[특이 코호몰로지]] 환은 차수
:<math>\deg x_i = 2d_i-1</math>
의 <math>r</math>개의 생성원으로 생성되는 [[외대수]]이다. 특히,
:<math>\dim G = \sum_{i=1}^r (2d_i-1)</math>
이다.

<math>\mathfrak a_n = \mathfrak{su}(n+1)</math>의 경우, 그 불변 다항식은 다음과 같은 꼴이다. 리 대수의 원소를 <math>(n+1)\times (n+1)</math> 무대각합 반 [[에르미트 행렬]]로 표현할 경우,
:<math>p_k(M) = \operatorname{tr}_{(n+1)\times(n+1)}(M^k)</math>
이다. 만약 <math>k=1</math>인 경우는 (행렬이 무대각합이므로) <math>p_1 = 0</math>이 되며, <math>k\ge n+2</math>인 경우는 더 낮은 차수의 불변 다항식들의 곱의 합으로 표현될 수 있다.

<math>\mathfrak{so}(n)</math>의 경우, 그 리 대수의 원소는 반대칭 <math>n\times n</math> 행렬이며, 따라서 다음과 같은 불변 다항식을 적을 수 있다.
:<math>p_k(M) = \operatorname{tr}(M^k)</math>
이 경우 <math>k</math>가 [[홀수]]일 때 <math>p_k = 0</math>이다. 즉, 짝수 차수만이 남게 된다. <math>n</math>이 홀수일 때 불변 다항식들은 <math>p_2,\dotsc,p_{n-1}</math>로 구성된다. <math>n=2m</math>이 짝수일 때는 추가로 <math>m</math>차 불변 다항식
:<math>q(M) = \epsilon^{i_1j_1i_2j_2\dotsb i_mj_m}M_{i_1j_1} \dotsm M_{i_mj_m}</math>
이 존재한다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Connections, curvature, and cohomology. Volume Ⅲ. Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces|날짜=1973|출판사=Academic Press|이름=Werner|성= Greub|이름2=Stephen |성2=Halperin|이름3= Ray |성3=Vanstone|isbn=978-0-12-302703-0 |doi=10.1016/S0079-8169(08)60498-5|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=invariant polynomial|title=Invariant polynomial}}
* {{nlab|id=Weil algebra}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:다항식]]
[[분류:리 대수]]