분해 불가능 대상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''분해 불가능 대상'''(分解不可能對象, {{llang|en|indecomposable object}})은 더 작은 대상들의 [[쌍대곱]]으로 나타낼 수 없는 대상이다.

== 정의 ==
[[시작 대상]] <math>0\in\mathcal C</math> 및 모든 [[쌍대곱]]을 갖는 [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''분해 불가능 대상'''({{llang|en|indecomposable object}})이라고 한다.
* 임의의 대상들의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math> 및 [[동형]] <math>\coprod_{i\in I}X_i\colon X</math>에 대하여, <math>X\cong X_{i_0}</math>이며 <math>X_i\cong0\forall i\in I\setminus\{i_0\}</math>가 되는 <math>i_0\in I</math>가 유일하게 존재한다.
여기서 <math>\textstyle\coprod</math>는 [[쌍대곱]]을 뜻한다.

마찬가지로, [[끝 대상]] <math>1\in\mathcal C</math> 및 모든 [[곱 (범주론)|곱]]을 갖는 [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''쌍대 분해 불가능 대상'''({{llang|en|coindecomposable object}})이라고 한다.
* 임의의 대상들의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math> 및 [[동형]] <math>\prod_{i\in I}X_i\colon X</math>에 대하여, <math>X\cong X_{i_0}</math>이며 <math>X_i\cong1\forall i\in I\setminus\{i_0\}</math>가 되는 <math>i_0\in I</math>가 유일하게 존재한다.
여기서 <math>\textstyle\prod</math>는 [[곱 (범주론)|곱]]을 뜻한다.

== 예 ==
=== 집합 ===
[[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>에서, 분해 불가능 대상은 [[한원소 집합]]이다.

=== 준층 ===
[[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌을 때, [[준층]] 범주 <math>\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}</math> 속의 대상 <math>\mathcal F</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.staff.science.uu.nl/~ooste110/syllabi/toposmoeder.pdf|제목=Topos theory|이름=I.|성=Moerdijk|이름2=J.|성2=van Oosten|날짜=2007|언어=en}}</ref>{{rp|Proposition 1.5}}
* 분해 불가능 대상이며, [[사영 대상]]이다.
* <math>\mathcal F</math>에서 어떤 [[표현 가능 준층]] <math>\hom_{\mathcal C}(-,X)</math>으로 가는 [[분할 단사 사상]] <math>\mathcal F\to\hom_{\mathcal C}(-,X)</math>이 존재한다.

=== 가군 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>가 주어졌을 때, '''분해 불가능 왼쪽 가군'''({{llang|en|indecomposable left module}})은 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]] 범주 <math>_R\operatorname{Mod}</math>의 분해 불가능 대상이다. ([[오른쪽 가군]]에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.) 즉, <math>M=M'\oplus M''</math>와 같은 꼴로 분해할 수 없는 [[가군]]을 뜻한다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 분해 불가능 가군이다.
* [[영가군]]이 아니며, [[자기 사상환]] <math>\operatorname{End}(_RM,_RM)</math>의 모든 [[멱등원]]은 0 또는 1이다.
이는 만약 [[자기 사상환]] <math>\operatorname{End}(_RM,_RM)</math>의 멱등원 <math>f\colon M\to M</math>이 주어졌을 때, <math>M=\ker f\oplus\operatorname{im}f</math>가 되기 때문이다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 유한한 [[가군의 길이|길이]]를 갖는다.
* [[뇌터 가군]]이자 [[아르틴 가군]]이다.
* [[합성열]]을 갖는다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 유한한 [[가군의 길이|길이]]를 갖는다면, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 분해 불가능 가군이다.
* [[영가군]]이 아니며, [[자기 사상환]] <math>\operatorname{End}(_RM,_RM)</math>은 [[국소환]]이다.
* ('''피팅 보조정리''', {{llang|en|Fitting lemma}}) 모든 [[자기 사상]]은 [[자기 동형 사상]]이거나 멱영 함수이다.
이는 [[자기 사상]] <math>f\colon M\to M</math>이 주어졌을 때, 충분히 큰 <math>k\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>M=\ker f^k\oplus\operatorname{im}f^k</math>임을 보여 증명할 수 있다.

[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[가군]](=[[벡터 공간]])의 경우, 분해 불가능 벡터 공간은 1차원 벡터 공간과 [[동치]]이다.

모든 왼쪽 [[아르틴 가군]]은 유한 개의 분해 불가능 [[왼쪽 가군]]들의 [[직합]]과 [[동형]]이다. '''크룰-슈미트 정리'''({{llang|en|Krull-Schmidt theorem}})에 따르면, [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 유한한 [[가군의 길이|길이]]를 갖는다면, <math>M</math>을 유한 개의 분해 불가능 [[왼쪽 가군]]의 [[직합]]으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 <math>M</math>이 유한 개의 분해 불가능 [[왼쪽 가군]]의 [[직합]] <math>M_1\oplus\cdots\oplus M_r</math> 및 <math>N_1\oplus\cdots\oplus N_s</math>와 [[동형]]이라면, <math>r=s</math>이며, <math>M_i\cong N_{j(i)}\forall i\in\{1,\dots,r\}</math>인 <math>j\in\operatorname{Sym}(r)</math>가 존재한다.

모든 [[단순 가군]]은 분해 불가능 가군이다. 그러나 [[단순 가군]]이 아닌 분해 불가능 가군이 존재한다.

=== 군 ===
[[군 (수학)|군]]에 대하여 가군과 유사한 결과들이 존재한다.

[[군 (수학)|군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 쌍대 분해 불가능 군이다. 즉, [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>의 쌍대 분해 불가능 대상이다. 즉, 만약 <math>G\cong H\times K</math>라면, <math>H=1</math>과 <math>K=1</math> 가운데 정확히 하나가 성립한다.
* 모든 [[내부 자기 동형 사상]]과 가환하는, [[자기 사상 모노이드]] <math>\operatorname{End}(G)</math>의 [[멱등원]]은 0 또는 1이다. (여기서 0은 모든 원소를 군의 [[항등원]]으로 대응시키는 [[자기 사상]] <math>g\mapsto 1</math>이다.)

[[군 (수학)|군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[정규 부분군]]의 (포함 관계에 대한) [[부분 순서 집합]]이 [[오름 사슬 조건]] 및 [[내림 사슬 조건]]을 만족한다.
* [[주합성열]]을 갖는다.

[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[정규 부분군]]의 (포함 관계에 대한) [[부분 순서 집합]]이 [[오름 사슬 조건]] 및 [[내림 사슬 조건]]을 만족시킨다면, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 쌍대 분해 불가능 군이다.
* [[자명군]]이 아니며, 임의의 두 [[자기 사상]] <math>\phi,\psi\in\operatorname{End}(G)</math>에 대하여, 만약 <math>\phi</math>와 <math>\psi</math>가 모든 [[내부 자기 동형 사상]]과 가환하며, <math>\phi(G)</math>의 원소와 <math>\psi(G)</math>의 원소가 가환하며, <math>\phi</math>와 <math>\psi</math>가 [[자기 동형 사상]]이 아니라면, [[자기 사상]] <math>\phi+\psi\colon g\mapsto\phi(g)\psi(g)</math> 역시 [[자기 동형 사상]]이 아니다.<ref name="JacobsonI" />{{rp|156, Corollary 2}}
* ('''피팅 보조정리''', {{llang|en|Fitting lemma}}) 모든 [[내부 자기 동형 사상]]과 가환하는 모든 [[자기 사상]]은 [[자기 동형 사상]]이거나 멱영 함수이다. (여기서 멱영 함수는 충분히 거듭 합성하면 0이 되는 함수를 뜻한다.)<ref name="JacobsonI" />{{rp|156, Corollary 1}}

[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[정규 부분군]]의 (포함 관계에 대한) [[부분 순서 집합]]이 [[내림 사슬 조건]]을 만족시킨다면, <math>G</math>는 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군의 [[직접곱]]과 [[동형]]이다. '''크룰-슈미트 정리'''({{llang|en|Krull-Schmidt theorem}})에 따르면, [[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[정규 부분군]]의 (포함 관계에 대한) [[부분 순서 집합]]이 [[오름 사슬 조건]] 및 [[내림 사슬 조건]]을 만족시킨다면, <math>G</math>를 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 [[직접곱]]으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 <math>G</math>가 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 [[직접곱]] <math>G_1\times\cdots\times G_r</math> 및 <math>H_1\times\cdots\times H_s</math>와 [[동형]]이라면, <math>r=s</math>이며, <math>G_i\cong H_{j(i)}\forall i\in\{1,\dots,r\}</math>인 <math>j\in\operatorname{Sym}(r)</math>가 존재한다.<ref name="JacobsonI">{{서적 인용
|이름1=Nathan
|성1=Jacobson
|제목=Lectures in abstract algebra. I. Basic concepts
|언어=en
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=30
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=1951
|isbn=978-1-4684-7303-2
|issn=0072-5285
|doi=10.1007/978-1-4684-7301-8
|mr=0392227
|zbl=0326.00001
}}</ref>{{rp|156–157}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=indecomposable object}}
* {{매스월드|id=IndecomposableModule|title=Indecomposable module}}
* {{groupprops|제목=Directly indecomposable group}}
* {{eom|제목=Krull-Remak-Schmidt theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]
[[분류:가군론]]
[[분류:군론]]