분해 가능 확대 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[체론]]에서 '''분해 가능 확대'''(分解可能擴大, {{llang|en|separable extension}}) 또는 '''분리 가능 확대'''(分離可能擴大)는 최소 다항식의 근들이 겹치지 않는 [[대수적 확대]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 [[기약 다항식]] <math>p\in K[x]</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 기약 다항식을 '''분해 가능 다항식'''(分解可能多項式, {{llang|en|separable polynomial}})이라고 한다.
* 모든 [[체의 확대]] <math>L/K</math> 및 <math>a\in L</math>에 대하여, <math>L[x]</math> 속에서 <math>(x-a)^2\nmid p(x)</math>이다.
* <math>|\{a\in L\colon p(a)=0\}|=\deg p</math>인 체의 확대 <math>L/K</math>가 존재한다.
* 모든 체의 확대 <math>L/K</math> 및 <math>a\in L</math>에 대하여, <math>p(a)=0=p'(a)</math>임은 불가능하다.
* 형식적 도함수 <math>p'\in K[x]</math>에 대하여, <math>dp/dx\ne0</math>이다.

[[최소 다항식]]은 항상 [[기약 다항식]]이다. [[대수적 확대]] <math>L/K</math>에 대하여, 만약 모든 <math>a\in L</math>에 대하여 그 [[최소 다항식]] <math>p_a(x)\in K[x]</math>이 분해 가능 다항식이라면 <math>L/K</math>를 '''분해 가능 확대'''라고 한다.

체 <math>K</math>에 대하여, 그 [[대수적 폐포]] <math>\bar K</math> 속에서, <math>K</math>에 대하여 [[최소 다항식]]이 분해 가능한 원소들의 집합 <math>K^{\operatorname{sep}}</math>은 <math>\bar K</math>의 부분체를 이루며, 이를 <math>K</math>의 '''분해 가능 폐포'''(分解可能閉包, {{llang|en|separable closure}})라고 한다. <math>K</math>의 분해 가능 폐포는 ([[동형]]을 무시하면) 유일하다. (다만, 대수적 폐포는 표준적이지 않으므로, 서로 다른 두 분해 가능 폐포 사이의 동형은 표준적이지 않다.) <math>K</math>의 분해 가능 확대는 <math>K</math>의 최대 [[갈루아 확대]]이다.

[[대수적 확대]] <math>L/K</math>에 대하여, 만약 모든 <math>a\in L\setminus K</math>에 대하여 그 [[최소 다항식]] <math>p_a(x)\in K[x]</math>이 분해 가능 다항식이 아니라면 <math>L/K</math>를 '''완전 비분해 확대'''(完全非分解擴大, {{llang|en|purely inseparable extension}})라고 한다.

== 성질 ==
임의의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, <math>K^{\operatorname{sep}}/K</math>는 분해 가능 확대이며, <math>\bar K/K^{\operatorname{sep}}</math>은 완전 비분해 확대이다. 임의의 [[대수적 확대]] <math>L/K</math>에 대하여, <math>(L\cap K^{\operatorname{sep}})/K</math>는 분해 가능 확대이며, <math>L/(L\cap K^{\operatorname{sep}})</math>은 완전 비분해 확대이다. 임의의 [[정규 확대]] <math>L/K</math>에 대하여, <math>K^{\operatorname{Aut}(L/K)}/K</math>는 완전 비분해 확대이며, <math>L/K^{\operatorname{Aut}(L/K)}</math>는 [[갈루아 확대]]이다. 또한 <math>L</math>은 <math>(L\cap K^{\operatorname{sep}})</math>와 <math>K^{\operatorname{Aut}(L/K)}/K</math>의 합성체이며, <math>K</math>는 둘의 교집합이다. 여기서,
:<math>K^{\operatorname{Aut}(L/K)}=\{a\in L\colon\forall\sigma\in\operatorname{Aut}(L/K)\colon \sigma(a)=a\}</math>
는 <math>L/K</math>의 모든 [[자기 동형 사상]]에 대한 [[고정점]]의 집합이다.

[[유한 확대]] <math>L/K</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 분해 가능 확대이다.
* [[체 대각합]] <math>\operatorname T_{L/K}\colon L\to K</math>는 [[전사 함수]]이다.
* <math>\operatorname T_{L/K}\ne0</math>

== 예 ==
[[완전체]]의 [[대수적 확대]]는 항상 분해 가능 확대이다. 즉, 분해 불가능 확대는 양의 [[체의 표수|표수]]에서만 존재하는 현상이다.

[[대수적 확대]]
:<math>\mathbb F_p(t)/\mathbb F_p(t^p)</math>
는 [[정규 확대]]이지만 분해 가능 확대가 아니다. <math>t\in\mathbb F_p(t)</math>의 최소 다항식은
:<math>x^p-t^p\in\mathbb F_p(t^p)[x]</math>
인데, <math>\mathbb F_p(t)[x]</math>에서 이는
:<math>x^p-t^p=(x-t)^p\in\mathbb F_p(t)[x]</math>
와 같이 인수분해되므로 분해 가능하지 않다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자링크=서지 랭|이름=Serge|성=Lang|제목=Algebra|판=3판|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=211|출판사=Springer|zbl=0984.00001|mr=1878556|날짜=2002|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|isbn=978-1-4612-6551-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Separable extension}}
* {{매스월드|id=SeparableExtension|title=Separable extension}}
* {{웹 인용|url=https://abstractnonsense.wordpress.com/2007/02/13/galois-theory-separability/|제목=Galois Theory: Separability|웹사이트=Abstract Nonsense|날짜=2007-02-13|이름=Alon|성=Levy|언어=en}}

[[분류:체론]]