분배 함수 (양자장론) 문서 원본 보기

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[[양자장론]]에서 '''분배 함수'''는 [[상관 함수 (양자장론)|상관 함수]]에 대한 범함수를 [[생성함수 (수학)|생성]]하여 [[경로 적분 공식화]]에서 연구의 핵심 대상이 된다. 이는 [[통계역학|통계 역학]] [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]의 허수 시간 버전으로, 물리학의 두 영역 사이에 긴밀한 연결을 제공한다. 자유장론에서는 그러한 해법을 인정하지만 분배 함수를 정확히 풀 수 있는 경우는 거의 없다. 대신 일반적으로 [[섭동 이론 (양자역학)|섭동적인]] 접근 방식이 구현되며 이는 [[파인만 도형|파인만 다이어그램]]을 합산하는 것과 동일하다.

== 범함수 생성하기 ==

=== 스칼라 장론 ===
실수 스칼라 장 <math>\phi</math>과  [[작용 (물리학)|작용]] <math>S[\phi]</math>을 사용한 <math>d</math> 차원 장론에서, 분배 함수는 경로 적분 형식에서 다음 [[범함수]]<ref>{{서적 인용|url=|제목=Path Integral Methods in Quantum Field Theory|성=Rivers|이름=R.J.|저자링크=|날짜=1988|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge|쪽=14–16|장=1|doi=|isbn=978-0521368704}}</ref>로 정의된다.

: <math>
Z[J] = \int \mathcal D\phi \ e^{iS[\phi] + i \int d^dx J(x)\phi(x)}
</math>

여기서 <math>J(x)</math>는 가상의 근원 전류이다. 임의의 n-점 상관 함수에 대한 생성 함수 역할을 한다.

: <math>
G_n(x_1, \dots, x_n) = (-1)^n \frac{1}{Z[0]} \frac{\delta^n Z[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0}.
</math>

여기서 사용된 도함수는 정규 함수가 아닌 함수에 작용하므로 정규 도함수가 아닌 범함수 도함수이다. 이로부터 근원 전류의 [[멱급수]]를 연상시키는 분배 함수에 대한 등가 표현은 다음과 같다<ref>{{서적 인용|url=|제목=Introduction to Quantum Field Theory|성=Năstase|이름=H.|저자링크=Horațiu Năstase|날짜=2019|출판사=Cambridge University Press|위치=|쪽=78|장=9|doi=|isbn=978-1108493994}}</ref>

: <math>
Z[J] = \sum_{n\geq 0}\frac{1}{n!}\int \prod^n_{i=1} d^dx_i G(x_1, \dots, x_n) J(x_1)\cdots J(x_n).
</math>

[[구부러진 공간|휘어진 시공간]]에는 초기 진공 상태가 최종 진공 상태와 동일할 필요가 없기 때문에 처리해야 하는 미묘한 문제가 추가된다.<ref>{{서적 인용|url=|제목=Quantum Fields in Curved Spacetime|성=Birrell|이름=N.C.|저자링크=|성2=Davis|이름2=P.C.W.|저자링크2=Paul Davies|날짜=1984|출판사=Cambridge University Press|위치=|쪽=155–156|장=6|doi=|isbn=978-0521278584}}</ref> 기본 장과 동일한 방식으로 복합 연산자에 대한 분배 함수를 구성할 수도 있다. 그러면 이러한 연산자의 상관 함수는 이러한 범함수의 범함수 도함수로 계산될 수 있다.<ref>{{서적 인용|url=|제목=Introduction to the AdS/CFT Correspondance|성=Năstase|이름=H.|저자링크=|날짜=2015|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge|쪽=9–10|장=1|doi=|isbn=978-1107085855}}</ref> 예를 들어 복합 연산자 <math>\mathcal O(x)</math>의 분배 함수는 다음과 같다.

: <math>
Z_{\mathcal O}[J] = \int \mathcal D \phi e^{iS[\phi]+i\int d^d x J(x) \mathcal O(x)}.
</math>

분배 함수를 알면 모든 상관 함수를 직접 계산할 수 있으므로 이론이 완전히 해결된다. 그러나 분배 함수를 정확하게 계산할 수 있는 경우는 거의 없다. 자유장론은 정확한 해를 인정하지만, 상호작용 이론은 일반적으로 그렇지 않다. 대신 분배 함수는 약한 [[결합 상수|결합]]에서 섭동적으로 계산 될 수 있으며, 이는 다음과 같은 external legs에 <math>J</math> 삽입 Feynman 다이어그램을 사용하는 정규 섭동 이론에 해당한다.<ref>{{서적 인용|url=|제목=Quantum Field Theory|성=Srednicki|이름=M.|저자링크=|날짜=2007|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge|쪽=58–60|장=9|doi=|isbn=978-0521864497}}</ref> 이러한 유형의 다이어그램에 대한 대칭 요소는 모든 외부 다리가 동일하므로 상관 함수의 대칭 요소와 다르다.  상호교환될 수 있는 <math>J</math> 삽입인 반면, 상관 함수의 외부 구간은 모두 특정 좌표에 고정되어 있으므로 고정된다.

윅 변환을 수행하면 분배 함수는 [[유클리드 공간|유클리드]] 시공간에서<ref>{{서적 인용|제목=An Introduction to Quantum Field Theory|url=https://archive.org/details/introductiontoqu0000pesk|성=Peskin|이름=Michael E.|저자링크=Michael Peskin|성2=Schroeder|이름2=Daniel V.|날짜=1995|출판사=Westview Press|쪽=[https://archive.org/details/introductiontoqu0000pesk/page/289 289]–292|장=9|isbn=9780201503975}}</ref>과 같이 표현될 수 있다.

: <math>
Z[J] = \int \mathcal D\phi \ e^{-(S_E[\phi] + \int d^d x_E J\phi)},
</math>

여기서 <math>S_E</math>는 유클리드 작용이고 <math>x_E</math>는 유클리드 좌표이다. 이 형태는 통계 역학의 분배 함수와 밀접하게 연결되어 있다. 특히 유클리드 [[라그랑지언|라그랑지안]]은 일반적으로 아래로부터 경계를 이루기 때문에 이 경우 [[에너지]] 밀도로 해석될 수 있다. 또한 지수 인자를 장 구성에 대한 통계적 가중치로 해석할 수 있으며, 기울기 또는 장 값의 변동이 클수록 더 큰 억제가 가능하다. 통계 역학과의 이러한 연결은 양자장론에서 상관 함수가 어떻게 작동해야 하는지에 대한 추가적인 직관을 제공한다.

=== 일반적 장론 ===
스칼라 사례의 동일한 원리 대부분은 추가 장이 있는 보다 일반적인 이론에 적용된다. 각 장에는 자체 가상 전류가 필요하며, [[반입자]] 장에는 자체 별도의 전류가 필요하다. 전류의 도함수를 사용하여 분배 함수에 작용하면 관련 장이 지수에서 내려오므로 임의의 상관 함수를 구성할 수 있다. 미분 후 진공 상태의 상관 함수가 필요한 경우 전류는 0으로 설정되지만 사라지지 않는 배경 장에서 상관 함수를 생성하기 위해 특정 값을 취하도록 전류를 설정할 수도 있다.

[[반가환수|그라스만]] 값 페르미온 장이 있는 분배 함수의 경우 소스도 그라스만 값이다.<ref>{{서적 인용|제목=Quantum Field Theory and the Standard Model|성=Schwartz|이름=M. D.|날짜=2014|출판사=Cambridge University Press|쪽=272|장=34|isbn=9781107034730}}</ref> 예를 들어, 단일 [[디랙 페르미온]] <math>\psi(x)</math>을 사용한 이론에는 두 개의 그라스만 전류 <math>\eta</math>, <math>\bar \eta</math>를 도입해야 한다.그래서 분배 함수는 다음과 같다.

: <math>
Z[\bar \eta, \eta] = \int \mathcal D \bar \psi \mathcal D \psi \ e^{iS[\psi, \bar \psi] + i\int d^d x (\bar \eta \psi + \bar \psi \eta)}.
</math>

<math>\bar \eta</math>에 대한 범함수 미분은  페르미온 장을 제공하는 반면 <math>\eta</math>에 대한 도함수는 상관 함수에 반페르미온 장을 제공한다.

=== 열장론 ===
[[온도]] <math>T</math>에서의 열장론은  유클리드 형식화에서는 [[축소화|축소화된]] 시간적 길이 <math>\beta = 1/T</math> 방향을 갖는 이론과 동일하다. 분배 함수는 장과 유클리드 시공간 적분에 주기성 조건을 적용하여 적절하게 수정되어야 한다.

: <math>
Z[\beta,J] = \int \mathcal D\phi e^{-S_{E,\beta}[\phi]+\int_\beta d^d x_E J \phi}\bigg|_{\phi(\boldsymbol x, 0) = \phi(\boldsymbol x, \beta)}.
</math>

이 분배 함수는 허수 시간 형식화에서 열장론의 정의로 간주될 수 있다.<ref>{{서적 인용|url=|제목=Thermal Field Theory|성=Le Bellac|이름=M.|저자링크=|날짜=2008|출판사=Cambridge University Press|위치=|쪽=36–37|장=3|doi=|isbn=978-0521654777}}</ref> 상관 함수는 전류에 대한 일반적인 범함수 미분을 통해 분배 함수로부터 획득된다.

: <math>
G_{n,\beta}(x_1, \dots, x_n) = \frac{\delta^n Z[\beta, J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0}.
</math>

== 자유장론 ==
분배 함수는 장의 관점에서 [[완전제곱식 만들기|완전 제곱화]] 함으로써 자유장론에서 정확하게 풀 수 있다. 상수에 의한 이동은 경로 적분 [[측도]]에 영향을 주지 않으므로 분배 함수를  경로 적분에서 발생하는 비례 상수 <math>N</math>로 분리할 수 있고 전류에만 의존하는 두 번째 항이다. 스칼라장론의 경우 이는 다음과 같다.

: <math>
Z_0[J] = N \exp\bigg(-\frac{1}{2}\int d^d x d^d y \ J(x)\Delta_F(x-y)J(y)\bigg),
</math>

여기서 <math>\Delta_F(x-y)</math>는 위치 공간 파인만 [[전파 인자|전파인자]]

: <math>
\Delta_F(x-y) = \int \frac{d^d p}{(2\pi)^d}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}e^{-ip\cdot (x-y)}.
</math>

이 분배 함수는 자유장론을 완전히 결정한다.

단일 자유 디랙 페르미온을 갖는 이론의 경우, 완전제곱식으로 만들면 다음 형식의 분배 함수가 생성된다.

: <math>
Z_0[\bar \eta, \eta] = N \exp\bigg(\int d^d x d^d y \ \bar \eta(y) \Delta_D(x-y) \eta(x)\bigg),
</math>

여기서 <math>\Delta_D(x-y)</math>는 위치 공간 디랙 전파인자

: <math>
\Delta_D(x-y) = \int \frac{d^d p}{(2\pi)^d}\frac{i({p\!\!\!/}+m)}{p^2-m^2+i\epsilon}e^{-ip\cdot(x-y)}.
</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 더 읽기 ==

* Ashok Das, ''Field Theory: A Path Integral Approach'', 2nd edition, World Scientific (Singapore, 2006); paperback {{ISBN|978-9812568489}}.
* [[:en:Hagen_Kleinert|Kleinert, Hagen]], ''Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets'', 4th edition, World Scientific (Singapore, 2004); paperback {{ISBN|981-238-107-4}}  ''(also available online: [http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b5 PDF-files])''.
* [http://www.scholarpedia.org/Path_integral Jean Zinn-Justin (2009), ''Scholarpedia'', '''4''' (2): 8674] .
[[분류:양자장론]]