분배 이음 반격자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[순서론]]에서 '''분배 이음 반격자'''({{llang|en|distributive join-semilattice}})와 '''분배 만남 반격자'''({{llang|en|distributive meet-semilattice}})는 [[분배 격자]]의 [[반격자]] 일반화이다.

== 정의 ==
[[이음 반격자]] <math>(S,\vee)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 이음 반격자를 '''분배 이음 반격자'''라고 한다.
* 임의의 <math>a,b,c\in S</math>에 대하여, 만약 <math>c\le a\vee b</math>라면, <math>c=a'\vee b'</math>인 <math>a'\le a</math> 및 <math>b'\le b</math>가 존재한다.
* <math>S</math>의 [[순서 아이디얼]]들의 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Ideal}(S)</math>은 [[분배 격자]]를 이룬다.<ref name="Grätzer">{{서적 인용
|이름1=George
|성1=Grätzer
|제목=Lattice Theory: Foundation
|언어=en
|출판사=Springer
|위치=Basel
|날짜=2011
|isbn=978-3-0348-0017-4
|doi=10.1007/978-3-0348-0018-1
|mr=2768581
|zbl=1233.06001
|lccn=2011921250
}}</ref>{{rp|167, Lemma 184(iii)}}
마찬가지로, [[만남 반격자]] <math>(S,\wedge)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 이음 반격자를 '''분배 만남 반격자'''라고 한다.
* 임의의 <math>a,b,c\in S</math>에 대하여, 만약 <math>c\ge a\wedge b</math>라면, <math>c=a'\wedge b'</math>인 <math>a'\ge a</math> 및 <math>b'\ge b</math>가 존재한다.
* <math>S</math>의 [[필터 (수학)|필터]]들의 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Filter}(S)</math>은 [[분배 격자]]를 이룬다.
{{증명}}
[[이음 반격자]] <math>S</math>가 주어졌으며, <math>a,b,c\in S</math>에 대하여, 만약 <math>c\le a\vee b</math>라면, <math>c=a'\vee b'</math>인 <math>a'\le a</math> 및 <math>b'\le b</math>가 존재한다고 하자. 모든 [[이음 반격자]]의 [[순서 아이디얼]] 집합은 [[이음 반격자]]를 이룬다. 가정한 조건에 따라, <math>S</math>가 [[하향 집합]]을 이루므로, 두 순서 아이디얼의 [[교집합]]은 [[공집합]]이 아니다. 따라서, <math>\operatorname{Ideal}(S)</math>는 [[격자 (순서론)|격자]]를 이룬다. 이제, <math>\operatorname{Ideal}(S)</math>가 [[분배 격자]]임을 보이려면, 임의의 세 [[순서 아이디얼]] <math>I,J,K\in\operatorname{Ideal}(S)</math>에 대하여, <math>I\vee(J\wedge K)=(I\vee J)\wedge(I\vee K)</math>임을 보이면 족하다. <math>\le</math>는 모든 격자 위에서 성립한다. 이제 임의의 <math>a\in(I\vee J)\wedge(I\vee K)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가정에 따라
:<math>a=i\vee j=i'\vee k</math>
인 <math>i,i'\in I</math> 및 <math>j\in J</math> 및 <math>k\in K</math>가 존재한다. <math>j\le i\vee j=i'\vee k</math>이므로, <math>j=i''\vee k'</math>인 <math>i''\le i'</math> 및 <math>k'\le k</math>가 존재한다. 이 경우 <math>i''\in I</math>이며, <math>k'\le i''\vee k'=j</math>이므로 <math>k'\in J\wedge K</math>이다. 따라서,
:<math>a=i\vee j=i\vee(i''\vee k')=(i\vee i'')\vee k'\in I\vee(J\wedge K)</math>
이다.

반대로, [[이음 반격자]] <math>S</math>에 대하여, <math>\operatorname{Ideal}(S)</math>가 [[격자 (순서론)|격자]]이며, 또한 [[분배 격자]]라고 하자. 또한, <math>a,b,c\in S</math>이며, <math>c\le a\vee b</math>라고 하자. [[주 순서 아이디얼]] <math>\mathop\downarrow a,\mathop\downarrow b,\mathop\downarrow c\in\operatorname{Ideal}(S)</math>을 생각하자. 분배 법칙에 따라,
:<math>\mathop\downarrow c
=\mathop\downarrow c\wedge\mathop\downarrow(a\vee b)
=\mathop\downarrow c\wedge(\mathop\downarrow a\vee\mathop\downarrow b)
=(\mathop\downarrow c\wedge\mathop\downarrow a)\vee(\mathop\downarrow c\wedge\mathop\downarrow b)
</math>
이다. 특히,
:<math>c\le a'\vee b'</math>
인 <math>a'\in\mathop\downarrow c\wedge\mathop\downarrow a</math> 및 <math>b'\in\mathop\downarrow c\wedge\mathop\downarrow b</math>가 존재한다. <math>a',b'\le c</math>이므로, <math>c\le a'\vee b'</math>이다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
모든 분배 이음 반격자는 ([[공집합]]이 아니라면) [[하향 집합]]이다. 모든 분배 만남 반격자는 ([[공집합]]이 아니라면) [[상향 집합]]이다.<ref name="Grätzer" />{{rp|167, Lemma 184(ii)}}
{{증명}}
분배 이음 반격자 <math>S</math> 및 임의의 원소 <math>a,b\in S</math>가 주어졌다고 하자. <math>a\le a\vee b</math>이므로, <math>a=a'\vee b'</math>인 <math>a'\le a</math> 및 <math>b'\le b</math>가 존재한다. 또한, <math>b'\le a'\vee b'=a</math>이다. 따라서 <math>b'</math>은 <math>a</math>와 <math>b</math>의 [[하계 (수학)|하계]]이다.
{{증명 끝}}

[[분배 격자]]와 달리, 분배 (이음/만남) 반격자의 [[모임 (집합론)|모임]]은 (부분 대수에 대하여 닫혀 있지 않으므로) [[대수 구조 다양체]]를 이루지 않는다. 사실, [[반격자]]들로 구성된 [[대수 구조 다양체]]는 [[분배 격자]]를 반격자에 대하여 일반화할 수 없다 (즉, [[격자 (순서론)|격자]]의 경우에 [[분배 격자]]와 일치할 수 없다).<ref name="Ertola-Biraben">{{서적 인용
|이름1=Rodolfo C.
|성1=Ertola-Biraben
|이름2=Francesc
|성2=Esteva
|이름3=Lluís
|성3=Godo
|장=On distributive join semilattices
|편집자-이름1=D.
|편집자-성1=Fazio
|편집자-이름2=A.
|편집자-성2=Ledda
|편집자-이름3=F.
|편집자-성3=Paoli
|제목=Algebraic Perspectives on Substructural Logics
|언어=en
|총서=Trends in Logic
|권=55
|출판사=Springer
|위치=Cham
|날짜=2021
|isbn=978-3-030-52162-2
|doi=10.1007/978-3-030-52163-9_3
|mr=4175062
|zbl=07326288
|arxiv=1902.01656
}}</ref>

== 예 ==
[[격자 (순서론)|격자]] <math>(L,\vee,\wedge)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Grätzer" />{{rp|167, Lemma 184(i)}}
* [[이음 반격자]] <math>(L,\vee)</math>는 분배 이음 반격자이다.
* [[만남 반격자]] <math>(L,\wedge)</math>는 분배 만남 반격자이다.
* [[격자 (순서론)|격자]] <math>(L,\vee,\wedge)</math>는 [[분배 격자]]이다.
{{증명}}
[[분배 격자]] <math>(L,\vee,\wedge)</math> 및 <math>a,b,c\in L</math>이 주어졌으며, <math>c\le a\vee b</math>라고 하자. 그렇다면, 분배 법칙에 따라
:<math>c=c\wedge(a\vee b)=(c\wedge a)\vee(c\wedge b)</math>
:<math>c\wedge a\le a</math>
:<math>c\wedge b\le b</math>
이다. 따라서 <math>(L,\vee)</math>는 분배 이음 반격자이다.

이제, [[격자 (순서론)|격자]] <math>(L,\vee,\wedge)</math>가 [[분배 격자]]가 아니라고 하자. 그렇다면, <math>L</math>은 오각형 부분 격자
:<math>\{m,a,b,c,n\}</math>
:<math>m\le a\le b\le n</math>
:<math>m\le c\le n</math>
또는 다이아몬드 부분 격자
:<math>\{m,a,b,c,n\}</math>
:<math>m\le a,b,c\le n</math>
를 갖는다. 이 경우,
:<math>b\le n=a\vee c</math>
이지만,
:<math>b=a'\vee c'</math>
:<math>a'\le a</math>
:<math>c'\le c</math>
인 <math>a',c'\in L</math>을 찾을 수 없다. (만약 이러한 <math>a',c'\in L</math>이 존재한다면,
:<math>b=a'\vee c'\le a\vee(c\wedge(a'\vee c'))=a\vee(c\wedge b)=a\vee m=a</math>
이므로 모순이다.) 따라서, <math>(L,\vee)</math>는 분배 이음 반격자가 아니다.
{{증명 끝}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:격자 이론]]