분리 집합쌍 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''분리 집합쌍'''(分離集合雙, {{llang|en|separated pair of sets}})은 서로의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]와 겹치지 않는 두 개의 [[집합]]을 뜻한다. 이 개념 및 이를 강화한 조건들을 통해, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 다양한 '''분리공리'''(分離公理, {{llang|en|separation axiom}})들을 정의할 수 있다.

== 정의 ==
위상 공간 <math>X</math>의 두 [[부분 집합]] <math>A,B\subseteq X</math>에 대하여, 다음을 정의한다.
* 만약 <math>A\cap B=\varnothing</math>이라면, <math>A</math>와 <math>B</math>는 '''[[서로소 집합|서로소 집합쌍]]'''(-素集合雙, {{llang|en|disjoint pair of sets}})이다.
* 만약 <math>A\cap\operatorname{cl}(B)=\varnothing</math>이거나 또는 <math>\operatorname{cl}(A)\cap B=\varnothing</math>이라면, <math>A</math>와 <math>B</math>는 '''위상 구별 가능 집합쌍'''(位相區別可能集合雙, {{llang|en|topologically distinguishable pair of sets}})이다.
* 만약 <math>A\cap\operatorname{cl}(B)=\operatorname{cl}(A)\cap B=\varnothing</math>이라면, <math>A</math>와 <math>B</math>는 '''분리 집합쌍'''(分離集合雙, {{llang|en|separated pair of sets}})이다.
* 만약 <math>\tilde A\cap\tilde B=\varnothing</math>이 되는 <math>A</math>의 [[근방]] <math>\tilde A\supseteq A</math> 및 <math>B</math>의 [[근방]] <math>\tilde B\supseteq B</math>가 존재한다면, <math>A</math>와 <math>B</math>는 '''근방 분리 집합쌍'''(近傍分離集合雙, {{llang|en|neighborhood-separated pair of sets}})이다.
* 만약 <math>\tilde A\cap\tilde B=\varnothing</math>이 되는 <math>A</math>의 닫힌 [[근방]] <math>\tilde A\supseteq A</math> 및 <math>B</math>의 닫힌 [[근방]] <math>\tilde B\supseteq B</math>가 존재한다면, <math>A</math>와 <math>B</math>는 '''닫힌 근방 분리 집합쌍'''(-近傍分離集合雙, {{llang|en|closed-neighborhood-separated pair of sets}})이다.
* 만약 <math>f(A)=\{0\}</math>이자 <math>f(B)=\{1\}</math>인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to[0,1]</math>가 존재한다면, <math>A</math>와 <math>B</math>는 '''함수 분리 집합쌍'''(函數分離集合雙, {{llang|en|functionally separated pair of sets}})이다.
* 만약 <math>f^{-1}(0)=A</math>이자 <math>f^{-1}(1)=B</math>인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to[0,1]</math>가 존재한다면, <math>A</math>와 <math>B</math>는 '''정밀 함수 분리 집합쌍'''(精密函數分離集合雙, {{llang|en|precisely functionally separated pair of sets}})이다. 이 경우, <math>A</math>는 [[닫힌집합]] <math>\{0\}</math>의 [[원상 (수학)|원상]]이므로 <math>X</math>의 [[닫힌집합]]이며, 또한 가산 개의 [[열린집합]]들 <math>\{f^{-1}([0,1/n))\}_{n\in\mathbb Z^+}</math>의 [[교집합]]이므로 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]이다. 이는 <math>B</math>도 마찬가지다.
이들 사이에는 서로 함의 관계 [[전순서]]가 존재한다.
:서로소 ⇐ 분리 ⇐ 근방 분리 ⇐ 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리 ⇐ 정밀 함수 분리
이 가운데 자명하지 않은 것은 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리로, 만약 <math>A</math>와 <math>B</math>가 <math>f\colon X\to[0,1]</math>에 의하여 서로 함수 분리라면, <math>\tilde A=f^{-1}([0,1/3])</math>, <math>\tilde B=f^{-1}([2/3,1])</math>로 놓으면 이들이 닫힌 근방 분리임을 알 수 있다.

== 성질 ==
위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음과 같은 꼴의 조건을 정의할 수 있다.
:〜인 [[부분 집합]] <math>A,B\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>A\cap B=\varnothing</math>이라면, <math>A</math>와 <math>B</math>는 〜분리이다.
이러한 조건을 '''분리공리'''라고 한다. 대표적인 예는 다음과 같다. (아래 표에서, "점"이란 사실 [[한원소 집합]]을 뜻한다.)

{| class="wikitable" style="text-align: center"
! 분리 대상╲분리 조건
! 위상 구별 가능 || 분리 ||[[근방]] 분리 || 닫힌 근방 분리 || 함수 분리 || 정밀 함수 분리
|-
! 점과 점
|| [[콜모고로프 공간]] || [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] || [[하우스도르프 공간]] || [[우리손 공간]] || [[완비 하우스도르프 공간]] || ㉢
|-
! 점과 [[닫힌집합]]
|| 모든 위상 공간 || [[R0 공간|R<sub>0</sub> 공간]]
| colspan=2 | [[정칙 공간]] || [[완비 정칙 공간]] || ㉣
|-
! [[닫힌집합]]과 [[닫힌집합]]
| colspan=2 | 모든 위상 공간
| colspan=3 | [[정규 공간]] || [[완전 정규 공간]]
|-
! 점과 [[열린집합]]
|rowspan=2| 모든 위상 공간
| colspan=4 | ㉠ || [[이산 공간]]
|-
! [[열린집합]]과 [[닫힌집합]]
| colspan=5 | ㉠
|-
! [[열린집합]]과 [[열린집합]]
| colspan=3 | 모든 위상 공간
| ㉡
| colspan=2 | ㉠
|}
여기서
* ㉠은 모든 [[열린집합]]이 [[열린닫힌집합]]인 위상 공간이다. (마찬가지로, 모든 [[닫힌집합]]도 [[열린닫힌집합]]이다.)
* ㉡은 모든 정칙 열린집합이 [[열린닫힌집합]]인 위상 공간이다. 이는 ㉠보다 약한 조건이다. (예를 들어, [[시에르핀스키 공간]]은 ㉡을 만족시키지만 ㉠을 만족시키지 않는다.)
* ㉢에는 특별한 이름이 없다. 그러나 이는 [[완비 정칙 공간]] + (모든 [[한원소 집합]]이 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]])에 의하여 함의된다.
* ㉣에는 특별한 이름이 없다. 그러나 이는 [[완비 정칙 공간|완비 정칙]] [[하우스도르프 공간]] + (모든 [[닫힌집합]]이 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]])을 함의하며, [[완전 정규 공간|완전 정규]] [[하우스도르프 공간]]에 의하여 함의된다.

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (㉠과 동치인 조건들):
<div class="mw-collapsible-content">
다음 함의 관계들을 증명하면 족하다.
* (A) 열린집합과 닫힌집합이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
* (A′) 열린집합과 점이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
* (A″) 열린집합과 열린집합이 함수 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
* (B) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 열린(닫힌)집합은 정밀히 함수 분리
* (B′) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 점은 함수 분리
(A): 임의의 열린집합 <math>U\subseteq X</math>에 대하여, <math>U</math>와 [[닫힌집합]] <math>X\setminus U</math>가 분리되었다고 하자. 그렇다면 <math>\varnothing=(X\setminus U)\cap\operatorname{cl}(U)=\operatorname{cl}(U)\setminus U</math>이므로 <math>U</math>는 [[닫힌집합]]이다.

(A′): [[귀류법]]을 통해, [[닫힌집합]]이 아닌 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>이 존재한다면, <math>x\in\operatorname{cl}(U)\setminus U</math>를 고를 수 있으며, 이 경우 <math>\{x\}</math>와 <math>U</math>는 서로 분리되지 않는다.

(A″): 함수 분리되는 두 집합은 항상 [[닫힌집합]]이다.

(B): <math>X</math>에서 모든 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 임의의 두 서로소 [[열린닫힌집합]] <math>A,B\subseteq X</math>에 대하여,
:<math>f\colon X\to[0,1]</math>
:<math>f\colon x\mapsto\begin{cases}
0&x\in A\\
1&x\in B\\
1/2&x\in X\setminus(A\cup B)
\end{cases}</math>
는 <math>A</math>와 <math>B</math>를 정밀히 분리하는 [[연속 함수]]이다.

(B′): <math>X</math>에서 [[열린집합]]과 [[닫힌집합]]이 일치한다고 하자. 열린집합 <math>U\subseteq X</math>와 <math>x\in X\setminus U</math>를 고른 뒤, <math>V=\operatorname{cl}(\{x\})</math>로 놓자. 그렇다면 (B)에 의하여 <math>U</math>와 <math>V</math>를 분리하는 함수가 존재한다.
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (㉡과 동치인 조건):'''
<div class="mw-collapsible-content">
다음 함의 관계들을 증명하면 족하다.
* (C) 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리 ⇒ 모든 정칙 열린집합은 [[닫힌집합]]
* (C′) 모든 정칙 열린집합은 [[닫힌집합]] ⇒ 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리

(C): <math>X</math>의 임의의 정칙 열린집합 <math>U</math>에 대하여,  <math>V=\operatorname{int}(X\setminus U)</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>\operatorname{cl}V=X\setminus U</math>
이다. 이제, <math>U</math>와 <math></math>가 닫힌 근방 분리된다는 것은
:<math>\varnothing=\operatorname{cl}(U)\cap\operatorname{cl}(V)=\operatorname{cl}U\setminus U</math>
를 뜻하므로, <math>U</math>는 [[닫힌집합]]이다. 따라서, 모든 정칙 열린집합은 [[닫힌집합]]이다.

(C′): <math>X</math>에서 모든 정칙 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 그렇다면, <math>X</math>의 두 서로소 열린집합 <math>U,V\subseteq X</math>에 대하여,
:<math>\tilde U=\operatorname{int}(\operatorname{cl}(U))=\operatorname{cl}U</math>
:<math>\tilde V=X\setminus\operatorname{cl}(U)</math>
라고 하자. 그렇다면 <math>\tilde U</math>는 <math>U</math>의 닫힌 근방이며,
:<math>U\subseteq\operatorname{cl}(U)\subseteq X\setminus V</math>
이므로 <math>\tilde V</math>는 <math>V</math>의 닫힌 [[근방]]이다. 따라서 <math>U</math>와 <math>V</math>는 닫힌 근방으로 분리된다.
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 ([[이산 공간]]과 동치인 조건):
<div class="mw-collapsible-content">
[[한원소 집합]]과 열린집합이 정밀히 함수로 분리된다는 것은 모든 [[열린집합]]이 [[닫힌집합]]이며, 또 [[한원소 집합]]이 [[닫힌집합]]이어야 한다는 것을 함의한다. 후자는 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]의 정의이며, 따라서 이러한 공간은 [[이산 공간]]이다. 반대 방향 함의는 자명하다.
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (㉢의 함의):
<div class="mw-collapsible-content">
[[완비 정칙 공간]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{nlab|id=G-delta subspace}}</ref>
* 모든 [[한원소 집합]]이 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>f^{-1}(\max_{y\in X}f(y))=\{x\}</math>인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to\mathbb R</math>가 존재한다.
따라서, 임의의 <math>x,x'\in X</math>에 대하여
:<math>f^{-1}(\max_{y\in X}f(y))=\{x\}</math>
:<math>f'^{-1}(\max_{y\in X}f'(y))=\{x'\}</math>
인 <math>f,f'\colon X\to\mathbb R</math>를 고른다면,
:<math>y\mapsto
\frac12+
\frac{f(x)-\max\{f(y),f(x')\}}{2(f(x)-f(x'))}
-\frac{f'(x')-\max\{f'(y),f'(x)\}}{2(f'(x)-f(x))}</math>
는 <math>x</math>와 <math>x'</math>을 정밀히 분리한다.
</div></div>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 이름2=J. Arthur, Jr.|성2=Seebach |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Separation axiom}}
* {{eom|title=Separability of sets}}
* {{매스월드|id=SeparationAxioms|title=Separation axioms}}
* {{nlab|id=separation axioms|title=Separation axioms}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Topologically_Distinguishable|제목=Definition: topologically distinguishable|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Separated|제목=Definition: separated|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Separated_by_Neighborhoods|제목=Definition: separated by neighborhoods|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Separated_by_Closed_Neighborhoods|제목=Definition: separated by closed neighborhoods|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Separated_by_Function|제목=Definition: separated by function|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Urysohn_Function|제목=Definition: Urysohn function|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://wikiwiki.jp/sepaxiom/|제목=Encyclopedia of Separation Axioms Wiki|언어=ja}}

{{전거 통제}}

[[분류:일반위상수학]]