분리합집합 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''분리 합집합'''(分離合集合, {{llang|en|disjoint union}}) 또는 '''서로소 합집합'''(-素合集合)은 원소들에게 그들이 속하던 집합에 대한 [[첨수]]를 추가하도록 변형된 [[합집합]]이다. [[서로소 집합|서로소]]인 집합들의 경우, 분리 합집합은 원래의 합집합과 동등하다.

== 정의 ==
두 집합 <math>A</math>와 <math>B</math>의 '''분리 합집합''' <math>A\sqcup B</math>은 다음과 같은, 두 [[곱집합]]의 [[합집합]]이다.
:<math>A\sqcup B=(A\times\{0\})\cup(B\times\{1\})</math>
보다 일반적으로, 집합들의 집합 <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>의 원소들의 '''분리 합집합''' <math>\bigsqcup_{i\in I}A_i</math>은 다음과 같은 집합이다.
:<math>\bigsqcup_{i\in I}A_i=\bigcup_{i\in I}{(A_i\times\{i\})}</math>
분리합집합의 원소 <math>(a,i)</math> 속의 <math>i</math>는, <math>a</math>가 어디에 속하던 원소인지 알려준다. 이에 따라, <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>가 [[서로소 집합족]]이거나 아니거나, <math>\{A_i\times\{i\}\}_{i\in I}</math>는 서로소 집합족이다.

== 성질 ==
임의의 <math>A_i</math>는 자연스럽게 <math>\bigsqcup_{i\in I}A_i</math>로 [[매장 (수학)|매장]]된다.
:<math>\iota\colon A_i\hookrightarrow\bigsqcup_{i\in I}A_i</math>
:<math>\iota\colon a\mapsto(a,i)</math>

집합들의 분리 합집합의 [[집합의 크기|크기]]는, 그 집합들의 크기의 합이다. 즉,
:<math>\left|\bigsqcup_{i\in I}A_i\right|=\sum_{i\in I}|A_i|</math>

== 예 ==
두 집합
:<math>A=\{a,b\}</math>
:<math>B=\{b,c,d\}</math>
의 분리 합집합은
:<math>A\sqcup B=\{(a,0),(b,0),(b,1),(c,1),(d,1)\}</math>
이며, 그 크기는 5이다.

{{전거 통제}}

[[분류:집합론의 기본 개념]]