분기 (동역학계) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Saddlenode.gif|섬네일|오른쪽|분기의 예. 매개변수 <math>\alpha</math>가 변화하면서 임계값 <math>\alpha=0</math>에 다다르면 동역학계의 궤적의 모양이 크게 변화한다. <math>\alpha<0</math>인 경우 평형점이 없지만, <math>\alpha>0</math>인 경우 두 개의 평형점이 존재한다.]]
[[동역학계 이론]]에서 '''분기'''(分岐, {{llang|en|bifurcation}})는 어떤 매개변수에 의존하는 [[동역학계]]의 궤도 따위가, 특정 매개변수 값에서 급격히 변하는 현상이다. 동역학계를 분기를 통하여 연구하는 수학 분야를 '''분기 이론'''(分岐理論, {{llang|en|bifurcation theory}})이라고 한다.

== 정의 ==
'''분기'''(分岐, {{llang|en|bifurcation}})는 '''국소적 분기'''({{llang|en|local bifurcation}})와 '''대역적 분기'''({{llang|en|global bifurcation}})가 있다. 전자는 평형점의 존재 또는 부재에 대한 것이고, 후자는 주기적 궤도 따위에 대한 것이다. 전자는 선형화 이론으로 다룰 수 있지만, 후자는 더 복잡하다.

=== 국소적 분기 ===
어떤 <math>n</math>차원 [[리만 다양체]] <math>M</math> 위에, 매개변수 <math>\lambda\in\mathbb R</math>에 의존하는 연속 시간 [[동역학계]]
:<math>f\colon \mathbb R\times M\to TM</math>
:<math>\dot x^\mu=f^\mu(\lambda,x)</math>
가 주어졌다고 하자. 이 동역학계의 [[고정점]]은 <math>f^\mu(\lambda,x)=0</math>이 되는 <math>(\mu,x)\in\mathbb R\times M</math>이다. 각 고정점 <math>(\lambda,x)\in\mathbb R\times M</math>에서 [[야코비 행렬]]
:<math>\nabla_\mu f^\nu|_{\lambda,x}\colon T_xM\to T_xM</math>
을 정의할 수 있다. 이를 <math>n\times n</math> 실수 [[행렬]]로 간주할 때, 만약 <math>\nabla_\mu f^\nu|_{\lambda,x}</math>가 실수 성분이 0인 복소수 [[고윳값]]을 갖는다면, 동역학계 <math>\dot x^\mu=f^\mu(\lambda,x)</math>가 <math>(\lambda,x)</math>에서 '''분기한다'''고 한다.<ref name="Crawford">{{저널 인용|제목=Introduction to bifurcation theory|이름=John David|성=Crawford|저널=Reviews of Modern Physics|권=63|쪽=991|날짜=1991-10-01|doi=10.1103/RevModPhys.63.991|url=http://aristote.obspm.fr/CT8/RevModPhys.63.991.pdf|언어=en}}</ref>{{rp|996, §II.A.3}} 이 경우, 두 가지 경우를 구분할 수 있다.
* 만약 야코비 행렬의 고윳값이 0이라면, 이는 '''안정 상태 분기'''(安定狀態分岐, {{llang|en|steady-state bifurcation}})라고 한다.
* 만약 야코비 행렬의 고윳값이 0이 아닌 허수라면, 이는 '''[[호프 분기]]'''(Hopf分岐, {{llang|en|Hopf bifurcation}})라고 한다. 이 경우, 대개 어떤 [[고정점]]이 [[극한 주기 궤도]]로 변화하게 된다.

이산 시간 동역학계에 대해서도 마찬가지 정의를 내릴 수 있다. 이산 시간 [[동역학계]]
:<math>f\colon\mathbb R\times M\to M</math>
:<math>x\mapsto f(\lambda,x)</math>
가 주어졌다고 하자. 이 동역학계에서 [[고정점]]은 <math>f(\lambda,x)=x</math>가 되는 <math>(\mu,x)\in\mathbb R\times M</math>이다. 각 고정점 <math>(\lambda_0,x_0)\in\mathbb R\times X</math>에 대하여, [[야코비 행렬]]
:<math>(df)^\mu_\nu|_{(\lambda,x)}\colon T_xM\to T_{f(\lambda,x)}M</math>
을 정의할 수 있다. 이를 <math>n\times n</math> 실수 행렬로 간주할 때, 만약 <math>df|_{(\lambda,x)}</math>가 절댓값이 1인 복소수 고윳값을 갖는다면, <math>f</math>가 <math>(\lambda,x)</math>에서 '''분기한다'''고 한다.<ref name="Crawford"/>{{rp|998, §II.B.2}} 이 경우, 다음과 같이 세 가지 경우가 가능하다.
* 만약 절댓값이 1인 고윳값이 1이라면, 이는 '''안정 상태 분기'''(安定狀態分岐, {{llang|en|steady-state bifurcation}})라고 한다.
* 만약 절댓값이 1인 고윳값의 쌍이 <math>\exp(\pm i\theta)</math>이라면 (<math>\theta\ne0,\pi</math>), 이는 '''[[호프 분기]]'''(Hopf分岐, {{llang|en|Hopf bifurcation}})라고 한다.
* 만약 절댓값이 1인 고윳값이 −1이라면, 이는 '''[[주기배가 분기]]'''(週期倍加分岐, {{llang|en|period-doubling bifurcation}})라고 한다. 이는 연속 시간 동역학계에서 나타나지 않는 분기화이다.

=== 대역적 분기 ===
'''대역적 분기'''({{llang|en|global bifurcation}})는 주기 궤도({{llang|en|periodic orbit}})나 [[극한 주기 궤도]], [[끌개]] 등이 한 개 이상의 안정점과 충돌하게 되는 점이다. 이 역시 다양한 경우가 있다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Elements of applied bifurcation theory|판=2|이름=Yuri A.|성=Kuznetsov|출판사=Springer|날짜=1994|doi=10.1007/978-1-4757-3978-7|언어=en}}
* {{서적 인용 |title= Dynamics and bifurcations|last1= Hale|first1= J.|last2= Koçak|first2= H. |날짜= 1991|publisher= Springer|series= Texts in Applied Mathematics|volume= 3|doi=10.1007/978-1-4612-4426-4|isbn=978-0-387-97141-4|언어=en}}
* {{서적 인용 |title= Bifurcation theory: an introduction with applications to partial differential equations|성= Kielhöfer|이름= Hansjörg |날짜= 2012|publisher= Springer|series=Applied Mathematical Sciences|volume= 156|doi=10.1007/978-1-4614-0502-3|isbn=978-1-4614-0501-6|판=2|issn=0066-5452|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Bifurcation|저널=Scholarpedia|권=2|호=6|쪽=1517|doi=10.4249/scholarpedia.1517|이름=John|성=Guckenheimer|날짜=2007|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Andronov-Hopf bifurcation|저널=Scholarpedia|권=1|호=10|쪽=1858|doi=10.4249/scholarpedia.1858|이름=Yuri A. |성=Kuznetsov|날짜=2006|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Cusp bifurcation|저널=Scholarpedia|권=2|호=4|쪽=1852|doi=10.4249/scholarpedia.1852|이름=Yuri A. |성=Kuznetsov|날짜=2007|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Saddle-node bifurcation|저널=Scholarpedia|권=1|호=10|쪽=1859|doi=10.4249/scholarpedia.1859|이름=Yuri A. |성=Kuznetsov|날짜=2006|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Fold-Hopf bifurcation|저널=Scholarpedia|권=2|호=10|쪽=1855|doi=10.4249/scholarpedia.1855|이름=John|성=Guckenheimer|이름2=Yuri A. |성2=Kuznetsov|날짜=2007|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Hopf-Hopf bifurcation|저널=Scholarpedia|권=3|호=8|쪽=1856|doi=10.4249/scholarpedia.1856|이름=John|성=Guckenheimer|이름2=Yuri A. |성2=Kuznetsov|날짜=2008|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Shilnikov bifurcation|저널=Scholarpedia|권=2|호=8|쪽=1891|doi=10.4249/scholarpedia.1891|이름=Leonid|성=Pavlovich Shilnikov|이름2=Andrey|성2=Shilnikov|날짜=2007|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Bogdanov-Takens bifurcation|저널=Scholarpedia|권=2|호=8|쪽=1854|doi=10.4249/scholarpedia.1854|이름=John|성=Guckenheimer|이름2=Yuri A. |성2=Kuznetsov|날짜=2007|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Bautin bifurcation|저널=Scholarpedia|권=2|호=5|쪽=1853|doi=10.4249/scholarpedia.1853|이름=John|성=Guckenheimer|이름2=Yuri A. |성2=Kuznetsov|날짜=2007|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Neimark-Sacker bifurcation|저널=Scholarpedia|권=3|호=5|쪽=1845|doi=10.4249/scholarpedia.1845|이름=Yuri A. |성=Kuznetsov|이름2=Robert J.|성2=Sacker|날짜=2008|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Period doubling|저널=Scholarpedia|권=9|호=6|쪽=3958|doi=10.4249/scholarpedia.3958|이름=Charles|성=Tresser|이름2=Pierre|성2=Coullet|이름3=Edson|성3=de Faria||날짜=2014|issn=1941-6016|언어=en}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Bifurcation}}
* {{eom|title=Branching of solutions}}
* {{eom|title=Qualitative theory of differential equations}}
* {{eom|title=Saddle-node bifurcation }}
* {{eom|title=Hopf bifurcation}}
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* {{매스월드|id=Takens-BogdanovBifurcation|title=Takens-Bognanov bifurcation}}

== 같이 보기 ==
* [[혼돈 이론]]
* [[파국 이론]]
{{혼돈 이론}}

{{전거 통제}}

[[분류:동역학계]]
[[분류:분기 이론]]
[[분류:비선형계]]