부호함수 문서 원본 보기

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[[파일:Signum function.svg|섬네일|실수 부호 함수의 그래프]]
[[파일:ComplexSign4.png|섬네일|복소수 부호 함수는 0이 아닌 복소수를 단위원에 사영시킨다.]]
[[수학]]에서 '''부호 함수'''({{llang|en|sign(um) function}})는 수의 부호를 판별하는 함수이다. 기호는 <math>\sgn</math>.

== 정의 ==
[[파일:Discontinuity_of_the_sign_function_at_0.svg|섬네일|198x198픽셀|sgn(x)는 x=0에서 불연속하다.]]
[[실수]] '''부호 함수'''는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\sgn x=\lim_{n\to\infty}\frac{1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}=2H(x)-1=1_{(0,\infty)}-1_{(-\infty,0)}=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}\qquad(x\in\mathbb R)</math>
여기서 <math>H</math>는 [[단위 계단 함수]], <math>1_{(-)}</math>는 [[지시 함수]]이다. 즉, 실수 부호 함수는 [[양수 (수학)|양수]]는 1, 0은 0, [[음수]]는 -1을 값으로 한다.

보다 일반적으로, [[복소수]] '''부호 함수'''는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\sgn z=\begin{cases}z/|z|=e^{i\operatorname{arg}z}&z\ne0\\0&z=0\end{cases}\qquad(z\in\mathbb C)</math>
여기서 <math>|\cdot|</math>는 [[절댓값]], <math>\operatorname{arg}</math>는 [[편각 (수학)|편각]]이다. 즉, 복소수의 부호 함숫값은 0의 경우 0, 0이 아닌 경우 [[복소평면]]의 [[단위원]]에 대한 사영이다.

== 성질 ==
=== 항등식 ===
모든 복소수 <math>z</math>는 부호 함수와 절댓값의 곱으로 나타낼 수 있다.
:<math>z=|z|\sgn z</math>
0이 아닌 실수 <math>z\ne0</math>의 경우 이로부터 다음과 같은 항등식들을 얻을 수 있다.
:<math>\sgn z=z/|z|=|z|/z\qquad(z\ne0)</math>
:<math>|z|=z\sgn z\qquad(z\ne0)</math>
복소수 부호 함수는 [[곱셈]] 및 [[나눗셈]] 및 [[덧셈 역원]] 및 [[켤레 복소수]]를 보존한다. 즉, 복소수 <math>z,w</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>\sgn(zw)=\sgn z\sgn w</math>
:<math>\sgn(z/w)=\sgn z/\sgn w</math>
:<math>\sgn(-z)=-\sgn z</math>
:<math>\overline{\sgn z}=\sgn\bar z</math>
복소수 부호 함수와 절댓값의 합성은 다음과 같다.
:<math>\sgn|z|=|\sgn z|=1_{\mathbb R\setminus\{0\}}</math>
복소수 부호 함수는 [[멱등 함수]]이다. 즉, 복소수 <math>z</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>\sgn z=\sgn\sgn z=\sgn\sgn\sgn z=\cdots</math>

=== 미분 ===
실수 부호 함수는 0을 제외한 모든 점에서 [[미분 가능 함수]]이며, 그 [[도함수]]는 0이다. 0은 이 함수의 [[불연속점]]이다. [[분포 (해석학)|분포]]로서의 도함수는 어디서나 정의되며, [[디랙 델타 함수]]의 2배이다.
:<math>\frac d{dx}\sgn x=2\delta(x)</math>

=== 적분 ===
실수 부호 함수의 [[정적분]]은 다음과 같다.
:<math>\int_0^x\sgn xdx=|x|</math>

=== 푸리에 변환 ===
실수 부호 함수의 [[푸리에 변환]]은 다음과 같다. (변환 결과는 [[코시 주요값]]을 통한 [[분포 (해석학)]]로 이해한다.)
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}\sgn x \,e^{-2\pi i \xi x}dx = \frac{1}{\pi i}\frac{1}{\xi} </math>
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}\sgn x \,e^{-i\omega x}dx = -\frac{2i}{\omega} </math>

== 같이 보기 ==
* [[절댓값]]
* [[단위 계단 함수]]
* [[음수]]
* [[구형함수]]
* [[시그모이드 함수]]
* [[계단 함수]]
* [[극분해]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Signum}}
* {{매스월드|id=Sign|title=Sign}}
* {{nlab|id=sign function|title=Sign function}}
* {{플래닛매스|urlname=signumfunction|title=Signum function}}

[[분류:초등 특수 함수]]
[[분류:단항 연산]]