부분 정의 함수 문서 원본 보기

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[[파일:Injection keine Injektion 2.svg|섬네일|오른쪽|부분 정의 함수의 예]]
[[파일:Injection auch noch eine Injektion.svg|섬네일|오른쪽|단사 부분 정의 함수의 예]]
[[수학]]에서 '''부분 정의 함수'''(部分定義函數, {{llang|en|partially defined function}}) 또는 '''부분 함수'''(部分函數, {{llang|en|partial function}})는 정의역의 일부분에만 정의되는, [[함수]]의 개념의 일반화이다.

== 정의 ==
집합 <math>X</math>와 <math>Y</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>X</math>에서 <math>Y</math>로 가는 '''부분 정의 함수'''는 정의역 <math>\operatorname{dom}f</math>이 <math>X</math>의 [[부분 집합]]이며, [[공역]]이 <math>Y</math>인 [[함수]] <math>f</math>이다. 이들의 집합을 <math>\operatorname{Pfn}(X,Y)</math>로 표기하자.
:<math>\operatorname{Pfn}(X,Y)=\bigsqcup_{A\subseteq X}Y^A</math>

부분 정의 함수는 다음과 같이 달리 생각할 수도 있다. 우선, [[점을 가진 집합]]
:<math>X_\bullet=X\sqcup\{\bullet_X\}</math>
:<math>Y_\bullet=X\sqcup\{\bullet_Y\}</math>
를 정의하자. 그렇다면 다음 세 개념이 [[동치]]이다.
* 부분 정의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>
* 점을 보존하는 함수 <math>f_\bullet\colon X_\bullet\to Y_\bullet</math>
* [[함수]] <math>f_\bullet|_X\colon X\to Y_\bullet</math>
이 경우
:<math>\operatorname{dom}f=f_\bullet^{-1}(Y)=f_\bullet^{-1}(Y_\bullet\setminus\{\bullet_Y\})</math>
이다. 특히, <math>\operatorname{Pfn}(X,Y)</math>는 지수 집합 <math>Y_\bullet^X</math>와 표준적으로 [[일대일 대응]]한다.

=== 부분 순서 ===
<math>X\to Y</math> 부분 정의 함수들의 집합을 <math>\operatorname{Pfn}(X,Y)</math>라고 표기하자. 그렇다면, 그 위에는 다음과 같은 [[부분 순서]]를 줄 수 있다.
:<math>f\le g\iff \left(\operatorname{dom}f\subseteq\operatorname{dom}g\land g|_{\operatorname{dom}f}=f\right)</math>
그렇다면 <math>\operatorname{Pfn}(X,Y)</math>는 [[부분 순서 집합]]을 이룬다.

[[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)</math>는 정의역의 [[집합의 크기|크기]]가 <math>\kappa</math> 미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.<ref name="Kunen"/>{{rp|211, Definition VII.6.1}}
:<math>\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)=\{f\in\operatorname{Pfn}(X,Y)\colon|\operatorname{dom}f|<\kappa\}
=\bigsqcup_{A\subseteq X}^{|A|<\kappa}Y^A</math>
이 역시 부분 순서 집합을 이룬다.

== 성질 ==
=== 조합론적 성질 ===
<math>\operatorname{Pfn}(X,Y)\cong Y_\bullet^X</math>의 [[집합의 크기|크기]]는 다음과 같다.
:<math>|\operatorname{Pfn}(X,Y)|=(|Y|+1)^{|X|}=\sum_{A\in\mathcal P(X)}|Y|^{|A|}
=\sum_{0\le\kappa\le|X|}|Y|^\kappa\binom{|X|}\kappa
</math>
(이는 <math>X</math>, <math>Y</math>가 무한 집합일 경우에도 성립한다.)

<math>\operatorname{Pfn}(X,Y;\lambda)</math>의 [[집합의 크기|크기]]는 다음과 같다.
:<math>|\operatorname{Pfn}(X,Y;\lambda)|=\sum_{0\le\kappa<\lambda}|Y|^\kappa\binom{|X|}\kappa
</math>

=== 순서론적 성질 ===
==== 극대·극소 원소 ====
<math>\operatorname{Pfn}(X,Y)</math>의 (유일한) [[최소 원소]]는 [[정의역]]이 [[공집합]]인 유일한 함수이다.
<math>\operatorname{Pfn}(X,Y)</math>의 [[극대 원소]]는 <math>\operatorname{dom}f=X</math>인 [[함수]] <math>f\in Y^X\subseteq\operatorname{Pfn}(X,Y)</math>이다.

==== 반사슬 조건 ====
만약 <math>Y</math>가 [[가산 집합]]이라면, <math>\operatorname{Pfn}(X,Y;\aleph_0)</math>는 [[가산 강상향 반사슬 조건]]을 만족시킨다. (이 사실은 [[강제법]]에서 중요하게 쓰인다.)

임의의 집합 <math>X</math>, <math>Y</math> 및 기수 <math>\kappa</math>가 주어졌다고 하고,
:<math>\lambda=(|Y|^{<\kappa})^+=\left(\sup_{\kappa'<\kappa}|Y|^\kappa\right)^+</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)</math>는 <math>\lambda</math>-[[강상향 반사슬 조건]]을 만족시킨다.

==== 포괄적 순서 아이디얼 ====
임의의 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa\ge\aleph_0</math> 및 <math>\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)</math>의 [[포괄적 순서 아이디얼]] <math>G\subseteq\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[순서 아이디얼]]은 [[상향 원순서 집합]]이므로 [[상한]] <math>\sup G\in\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)</math>가 항상 존재하며, 또한 다음이 성립한다.<ref name="Kunen"/>{{rp|211, Lemma VII.6.2}}
* 만약 <math>\aleph_0\le\kappa</math>라면, <math>\operatorname{dom}\sup G=X</math>이다. 즉, <math>\sup G\in Y^X</math>는 (<math>X</math> 전체에 정의된) [[함수]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x</math>에 대하여 정의된 부분 정의 함수의 집합 <math>D_x=\{f\in\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)\colon x\in\operatorname{dom}f\}</math>는 <math>\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)</math>의 [[공종 집합]]이다. 따라서 <math>f\in G\cap D_x</math>가 존재하며, 특히 <math>f\le\sup G</math>이자 <math>x\in\operatorname{dom}f\subseteq\operatorname{dom}\sup G</math>이다.
</div></div>
* 만약 <math>\aleph_0\le\kappa\le|X|</math>라면, <math>\operatorname{im}\sup G=Y</math>이다. 즉, <math>\sup G\in Y^X</math>는 [[전사 함수]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>y</math>가 [[치역]]에 포함되는 부분 정의 함수의 집합 <math>D_y=\{f\in\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)\colon y\in\operatorname{im}f\}</math>는 <math>\operatorname{Pfn}(X,Y;\kappa)</math>의 [[공종 집합]]이다. 따라서 <math>f\in G\cap D_y</math>가 존재하며, 특히 <math>f\le\sup G</math>이자 <math>y\in\operatorname{im}f\subseteq\operatorname{im}\sup G</math>이다.</div></div>

=== 범주론적 성질 ===
다음과 같은 범주 <math>\operatorname{Set_{part}}</math>를 생각하자.
* <math>\operatorname{Set_{part}}</math>의 대상은 [[집합]]이다.
* 두 집합 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>은 부분 정의 함수 <math>f\in\operatorname{Pfn}(X,Y)</math>이다.
그렇다면, <math>\operatorname{Set_{part}}</math>는 [[점을 가진 집합]]의 범주 <Math>\operatorname{Set}_\bullet</math>와 [[범주의 동치|동치]]이다.<ref>{{서적 인용|editor1-first=Jürgen|editor1-last=Koslowski|editor2-first= Austin|editor2-last=Melton|title=Categorical perspectives|날짜=2001|publisher=Birkhäuser|isbn=978-1-4612-7117-8|first=Lutz|last=Schröder|chapter=Categories: a free tour|doi=10.1007/978-1-4612-1370-3_1|쪽=1–27|총서=Trends in Mathematics|zbl=0985.18001|언어=en}}</ref>{{rp|10}}
:<math>\operatorname{Set_{part}}\simeq\operatorname{Set}_\bullet</math>

다음과 같은 범주 <math>\operatorname{Set_{part,inj}}</math>를 생각하자.
* <math>\operatorname{Set_{part}}</math>의 대상은 [[집합]]이다.
* 두 집합 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 사상 <Math>f\colon X\to Y</math>은 단사 부분 정의 함수 <math>f\in\operatorname{Pfn}(X,Y)</math>이다. (즉, 이는 <math>X</math>의 부분 집합과 <math>Y</math>의 부분 집합 사이의 [[전단사 함수]]이다.)
그렇다면 <math>\operatorname{Set_{part,inj}}</math>는 스스로의 [[반대 범주]]와 [[범주의 동치|동치]]이다.<ref>{{서적 인용|first=Francis|last=Borceux|title=Handbook of categorical algebra. Volume 2: categories and structures|날짜=1994|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-44179-7|doi=10.1017/CBO9780511525865|zbl=0843.18001|언어=en}}</ref>{{rp|289, Exercise 5.7.3}}
:<math>\operatorname{Set_{part,inj}}\simeq\operatorname{Set_{part,inj}}^{\operatorname{op}}</math>

=== 강제법적 성질 ===
(편의상, [[강제법]]에 [[공시작 집합]]·[[포괄적 필터]] 대신 [[공종 집합]]·[[포괄적 순서 아이디얼]]을 사용하자.)

[[ZFC]]의 [[가산 집합|가산]] [[표준 추이적 모형]] <math>M</math> 및 <math>X,Y\in M</math>과 <math>\kappa\in\operatorname{Card}^M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>M</math> 속에서 <math>\operatorname{Pfn}(X,Y,\kappa)^M\in M</math>을 구성할 수 있다. 그렇다면, <math>M</math>에 <math>\operatorname{Pfn}(X,Y,\kappa)^M</math>의 [[포괄적 순서 아이디얼]] <math>G\subseteq\operatorname{Pfn}(X,Y,\kappa)^M</math>를 추가한 [[강제법]] 모형 <math>M[G]</math>를 정의할 수 있다. 이를 '''코언 강제법'''({{llang|en|Cohen forcing}})이라고 한다.<ref name="Kunen">{{서적 인용|title=Set theory: an introduction to independence proofs|성=Kunen|이름=Kenneth|저자링크=케네스 쿠넌|publisher=North-Holland|날짜=1980|isbn=978-0-444-86839-8|url=http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|총서=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|권=102|zbl=0534.03026|mr=597342|언어=en|확인날짜=2016-08-08|보존url=https://web.archive.org/web/20160911102401/http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|보존날짜=2016-09-11|url-status=dead}}</ref>{{rp|§VII.5}}

구체적으로, <math>S\in M</math>에 대하여 <math>X=S\times\mathbb N</math>이자 <math>Y=\{0,1\}</math>, <math>\kappa=\aleph_0</math>이라고 놓자. (<math>\aleph_0=\mathbb N=\omega</math>는 [[절대 논리식|절대적]]이다.) 또한
:<math>M\models|S|\ge\aleph_2</math>
라고 하자. 즉,
:<math>|S|\ge\omega_2^M</math>
이라고 하자. (여기서 <math>\omega_1^M\in\operatorname{Ord}^M=\operatorname{Ord}\cap M</math>은 [[순서수]]이지만 기수가 아닐 수 있다.) 그렇다면
:<math>M[G]\models\lnot\mathsf{CH}</math>
임을 보일 수 있다<ref name="Kunen"/>{{rp|208, §VII.5}} (<math>\mathsf{CH}</math>는 [[연속체 가설]]).
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[순서 아이디얼]] 조건에 의하여 <math>\sup G\in G</math>이며, 또한 <math>\sup G</math>는 [[포괄적 순서 아이디얼|포괄성]] 조건에 따라서 사실 <math>X=S\times\mathbb N</math> 전체에 정의된 [[함수]]이다.

다음을 정의하자.
:<math>H=\left(\sup G\right)^{-1}(1)\subseteq S\times\mathbb N</math>
:<math>H_s=\{n\in\mathbb N\colon (s,n)\in H\}\subseteq\mathbb N\qquad(s\in S)</math>
그렇다면 [[포괄적 순서 아이디얼|포괄성]] 조건에 의하여 다음을 보일 수 있다.
* <math>H_s\not\in M</math>
* <math>s\ne t\implies H_s\ne H_t</math>
* <math>H_s\in M[G]</math>
따라서, <math>\{H_s\}_{s\in S}</math>는 <math>\mathbb N</math>의 <math>|S|</math>개의 부분 집합들을 이루며, 따라서
:<math>M[G]\models 2^{\aleph_0}\ge|S|</math>
이다.<ref name="Kunen"/>{{rp|205, Lemma VII.5.3}}

이제, <math>M</math> 속에서 <math>\operatorname{Pfn}(X,Y,\kappa)^M</math>는 [[가산 강상향 반사슬 조건]]을 만족시키므로, 이에 대한 [[강제법]]은 기수를 보존한다. 따라서 <math>|S|</math>의 크기는 <math>M</math>과 <Math>M[G]</math> 속에서 같으며, 따라서
:<math>M[G]\models 2^{\aleph_0}\ge|S|>\aleph_0</math>
이다.
</div></div>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{매스월드|id=PointedMap|title=Pointed map}}
* {{nlab|id=partial function|title=Partial function}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Many-to-One_Relation|제목=Definition: many-to-one relation|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Partial_Function|제목=Definition: partial function|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:집합론]]