부분 수열 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''부분 수열'''(部分數列, {{llang|en|subsequence}}) 또는 '''부분열'''(部分列)은 주어진 [[수열]]의 일부 항을 원래 순서대로 나열하여 얻을 수 있는 수열이다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math> 위의 두 수열 <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}</math>, <math>(y_n)_{n\in\mathbb N}</math> (<math>x_n,y_n\in X</math>)이 주어졌다고 하자. 만약 다음 두 조건을 만족시키는 함수 <math>n_\bullet\colon\mathbb N\to\mathbb N</math>이 존재한다면, 수열 <math>(y_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 수열 <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}</math>의 부분 수열이라고 한다.
* <math>n_\bullet</math>는 [[순증가 함수]]이다. 즉, 임의의 자연수 <math>k\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>n_k<n_{k+1}</math>이다.
* 임의의 자연수 <math>k\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>y_k=x_{n_k}</math>

== 성질 ==
=== 순서론적 성질 ===
집합 <math>X</math> 위의 수열들의 집합 <math>X^{\mathbb N}</math> 위에서, 부분 순서 관계는 [[원순서]]를 이룬다.<ref name="Tao">{{서적 인용
|성1=Tao
|이름1=Terence
|저자링크=테런스 타오
|제목=Analysis I
|언어=en
|판=3
|총서=Texts and Readings in Mathematics
|권=37
|출판사=Springer
|위치=Singapore
|날짜=2016
|isbn=978-981-10-1789-6
|issn=2366-8725
|doi=10.1007/978-981-10-1789-6
|lccn=2016940817
}}</ref>{{rp|150, §6.6, Lemma 6.6.4}} 즉, 모든 수열은 자기 자신을 부분 수열로 가지며, 부분 수열의 부분 수열은 원래 수열의 부분 수열이다. 만약 <math>X</math>의 크기가 2 이상일 경우, 부분 순서 관계는 [[부분 순서]]가 아니며, [[동치 관계]]도 아니다.<ref name="Tao" />{{rp|152, §6.6, Exercise 6.6.2}} 예를 들어, 서로 다른 두 실수 수열
:<math>(0,1,0,1,\dots)</math>
:<math>(1,0,1,0,\dots)</math>
은 서로의 부분 수열이다.

=== 해석학적 성질 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 수열 <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 수렴한다.
* 모든 부분 수열이 수렴한다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 수열 <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X</math> 및 점 <math>x\in X</math> 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}</math>은 <math>x</math>로 수렴한다.
* <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}</math>의 모든 부분 수열 <math>(x_{n_k})_{k\in\mathbb N}</math>은 <math>x</math>로 수렴한다.
* <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}</math>의 모든 부분 수열 <math>(x_{n_k})_{k\in\mathbb N}</math>은 <math>x</math>로 수렴하는 부분 수열 <math>(x_{n_{k_j}})_{j\in\mathbb N}</math>을 갖는다.<ref name="Athreya">{{서적 인용
|성1=Athreya
|이름1=Krishna B.
|성2=Lahiri
|이름2=Soumendra N.
|제목=Measure Theory and Probability Theory
|언어=en
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2006
|isbn=978-0-387-32903-1
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
|zbl=1125.60001
}}</ref>{{rp|80, §2.6, Exercise 2.37, (a)}}

모든 실수 수열은 단조 부분 수열을 갖는다. 모든 유계 실수 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다 ([[볼차노-바이어슈트라스 정리]]).

== 예 ==
[[음이 아닌 정수]]의 열 <math>(0,1,2,3,\dots)</math>은 음이 아닌 [[짝수]]의 열 <math>(0,2,4,\dots)</math>을 한 부분 수열로 갖는다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{플래닛매스|urlname=subsequence|title=Subsequence}}

[[분류:수열]]
[[분류:관계 (수학)]]