부분 대상 분류자 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''부분 대상 분류자'''(部分對象分類子, {{llang|en|subobject classifier}})는 주어진 대상의 각각의 [[부분 대상]]들을, 특정한 대상 <math>2</math>로 가는 사상에 대응시킬 수 있도록 하는 구조이다. [[집합론]]에서의 [[지시 함수]]의 개념을 일반화한 것으로, 부분 대상 분류자는 임의의 [[토포스]]에서 항상 존재한다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>가 [[끝 대상]] <math>1</math>을 갖는다고 하자. <math>\mathcal C</math>의  '''부분 대상 분류자'''는 다음 조건을 만족시키는, 대상 <math>2</math> 및 사상 <math>\top\colon1\to2</math>의 순서쌍이다. (대상 <math>2</math>는 문헌에 따라 <math>\Omega</math>로 표기하기도 한다.)
* 모든 [[단사 사상]] <math>\iota\colon X\hookrightarrow Y</math>에 대하여, <math>Y\xleftarrow\iota X\to1</math>이 <math>Y\xrightarrow{\chi_\iota}2\xleftarrow\top1</math>의 [[당김 (범주론)|당김]]이 되는 사상 <math>\chi_\iota\colon Y\to2</math>이 유일하게 존재한다.
여기서 사상 <math>\chi_\iota</math>를 <math>\iota</math>의 '''[[지시 함수|지시 사상]]'''({{llang|en|indicator morphism}})이라고 한다.

[[유한 완비 범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 대상 <math>2</math> 및 사상 <math>\top\colon1\to 2</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>(2,\top)</math>을 '''강한 부분 대상 분류자'''(強-部分對象分類子, {{llang|en|strong subobject classifier}})라고 한다.
* 모든 [[강한 단사 사상]] <math>\iota\colon X\hookrightarrow Y</math>에 대하여, <math>Y\xleftarrow\iota X\to1</math>이 <math>Y\xrightarrow{\chi_\iota}2\xleftarrow\top1</math>의 [[당김 (범주론)|당김]]이 되는 사상 <math>\chi_\iota\colon Y\to2</math>이 유일하게 존재한다.
강한 부분 대상 분류자는 부분 대상 분류자의 정의를 모든 [[단사 사상]] 대신 [[강한 단사 사상]]에만 적용되게 약화시킨 것이다. 즉, 이름과 달리 강한 부분 대상 분류자는 더 약한 개념이다. 모든 부분 대상 분류자는 (모든 [[강한 단사 사상|강한]] [[부분 대상]]은  [[부분 대상]]이므로) 강한 부분 대상 분류자이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

모든 [[토포스]]는 정의에 따라 부분 대상 분류자를 갖는다. 마찬가지로, 모든 [[준토포스]]는 정의에 따라 강한 부분 대상 분류자를 갖는다.

== 예 ==
각종 [[토포스]]에서, 부분 대상 분류자의 예는 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 토포스 !! 부분 대상 분류자
|-
| 집합의 토포스 <math>\operatorname{Set}</math> || 두 개의 원소를 가진 집합 <math>\{\bullet_1,\bullet_2\}</math>
|-
| [[유한 집합]]의 토포스 <math>\operatorname{FinSet}</math> || 두 개의 원소를 가진 집합 <math>\{\bullet_1,\bullet_2\}</math>
|-
| [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal U)</math> 위의 (집합) [[층 (수학)|층]]의 토포스 <math>\operatorname{Sh}(X)</math> || [[열린집합]] <math>V\subset X</math>에 대하여, 열린 [[부분 집합]]들의 층 <math>\mathcal U(V)=\{U\cap V|U\in\mathcal U\}</math>
|-
| [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 위의 [[준층]]의 토포스 <math>\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}</math> || 대상 <math>C\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>C</math> 위의 모든 [[체 (범주론)|체]]들의 집합의 준층 <math>\operatorname{Sieve}(C)</math>
|-
| [[토포스]] <math>\mathcal T</math> 및 대상 <math>X\in\mathcal T</math>에 대하여, <math>\mathcal T/X</math> || <math>\mathcal T</math>의 부분 대상 분류자 <math>2_{\mathcal T}\in\mathcal T</math>에 대하여, 사영 <math>\operatorname{proj}_2\colon 2_{\mathcal T}\times X\twoheadrightarrow X</math>
|}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=Saunders|성=Mac Lane|저자링크=손더스 매클레인|공저자=Ieke Moerdijk|날짜=1992|제목=Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory|출판사=Springer|zbl=0822.18001|doi=10.1007/978-1-4612-0927-0|isbn=978-0-387-97710-2|총서=Universitext|issn=0172-5939|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/subobject+classifier|제목=Subobject classifier|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{eom|title=Categorical logic}}

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]