부분파 방법 문서 원본 보기

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[[물리학]]에서 '''부분파 방법'''(部分波方法, {{lang|en|method of partial waves}})은 [[산란]] 문제를 [[구면 조화 함수]]에 대한 성분인 '''부분파'''(部分波, {{lang|en|partial wave}})로 분해하여 푸는 방법이다.

== 전개 ==
[[파수]] <math>k=\sqrt{2mE}/\hbar</math>를 가지고 <math>z</math>방향으로 움직이는 입사 평면파 [[파동 함수]] <math>\langle\mathbf r|\phi\rangle=\exp(\mathrm ikz)</math>가 원점 근처에 국한된 구면 대칭 퍼텐셜 <math>V(r)</math>에 의하여 <math>|\psi\rangle</math>으로 산란된다고 하자.
:<math>(H_0+V)|\psi\rangle=E|\psi\rangle</math>.
퍼텐셜은 원점 근처에 국한되어 있으므로, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 파동 함수는 진공 슈뢰딩거 방정식
:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(r,\theta,\phi)=0</math>
을 따른다. [[구면좌표계]]에서 진공 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 해는 다음과 같은 [[구면 베셀 함수]] <math>j_l(x)</math>, <math>y_l(x)</math>와 [[구면 조화 함수]] <math>Y_l^m(\theta,\phi)</math>의 곱들의 [[선형결합]]이다.
:<math>\psi(r,\theta,\phi)=\sum_{l,m}B_l^mj_l(kr)Y_l^m(\theta,\phi)+C_l^m ki^{l+1}\left(j_l(kr)+iy_l(kr)\right)Y_l^m(\theta,\phi)</math>.
여기서 <math>B_l^m</math>과 <math>C_l^m</math>은 미지의 계수이다.

'''레일리 공식'''({{lang|en|Rayleigh formula}})에 따라
:<math>\phi(r,\theta,\phi)=\exp(ikr\cos\theta)=\sum_{l,m}i^l\sqrt{4\pi(2l+1)}j_l(kr)Y_l^0(\theta,\phi)</math>
이고,
:<math>ki^{l+1}\left(j_l(kr)+iy_l(kr)\right)\approx\exp(ikr)/r</math> (<math>kr\gg 1</math>)
은 산란된 구면파를 나타내므로, 평면파의 산란을 나타내기 위해서는 다음과 같은 경계 조건을 부여하여야 한다.
:<math>B_l^m=\sqrt{4\pi(2l+1)}\delta_{m0}</math>.
따라서
:<math>\psi(r,\theta,\phi)=\sum_{l,m}\sqrt{4\pi(2l+1)}\delta_{m0}j_l(kr)Y_l^0(\theta,\phi)+C_l^mki^{l+1}\left(j_l(kr)+iy_l(kr)\right)Y_l^m(\theta,\phi)</math>
이다. 여기서 각각의 <math>C_l^m i^{l+1}\left(j_l(kr)+iy_l(kr)\right)Y_l^m(\theta,\phi)</math> 성분을 '''부분파'''라고 하고, <math>C_l^m</math>을 '''부분파 [[산란 진폭]]'''이라고 한다.

'''부분파 방법'''은 퍼텐셜 근처에서의 [[슈뢰딩거 방정식]]을 위와 같은 [[가설 풀이]]를 대입하여 푸는 것이다. 이렇게 하여 부분파 산란 진폭 <math>C_l^m</math>을 구하면 그 총 [[산란 진폭]] <math>f(\theta,\phi)</math>는
:<math>f(\theta,\phi)=\sum_{l,m}C_l^mY_l^m(\theta,\phi)</math>
와 같이 주어진다. 이로부터 총 산란 [[단면적]] <math>\sigma</math>와 [[미분 단면적]] <math>d\sigma/d\Omega</math>를 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\sigma=\oint|f|^2\,d\Omega=\sum_{l,m}|C_l^m|^2</math>
:<math>\frac{d\sigma(\theta,\phi)}{d\Omega}=\sum_{l',m'}\sum_{l,m}C_l^mY_l^m(\theta,\phi)(C_{l'}^{m'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi))^*</math>.

=== 낮은 에너지에서의 근사 ===
퍼텐셜의 "크기"가 대략 <math>a</math>라고 하자. 즉, <math>V(r)</math>가 대략 다음과 같은 꼴이다.
:<math>V(r)\approx\begin{cases}
0&r>a\\
\infty&r<a.
\end{cases}</math>
이런 경우에는 <math>\psi(r=a,\theta,\phi)\approx0</math>이므로, 다음과 같은 경계 조건을 부여한다.
:<math>0\approx\sum_{l,m}\sqrt{4\pi(2l+1)}\delta_{m0}j_l(ka)Y_l^0(\theta,\phi)+C_l^mki^{l+1}\left(j_l(ka)+iy_l(ka)\right)Y_l^m(\theta,\phi)</math>.
이에 따라
:<math>C_l^m\approx-\frac{\sqrt{4\pi(2l+1)}\delta_{m0}j_l(ka)}{ki^{l+1}\left(j_l(ka)+iy_l(ka)\right)}</math>
이다.

이제, 입사 파동 함수의 에너지 <math>E=\hbar^2k^2/2m</math>가 퍼텐셜의 크기에 비하여 아주 작다고 하자. 즉,
:<math>ka\ll 1</math>
:<math>E\ll\frac{\hbar^2}{2ma^2}</math>
라고 하자. 그렇다면
:<math>j_l(x)\propto x^l</math> (<math>x\ll 1</math>)
:<math>y_l(x)\propto x^{-l-1}</math> (<math>x\ll 1</math>)
이므로,
:<math>C_l^m\propto a(ka)^{2l}</math>
이다. 따라서 <math>ka\ll1</math>이므로 <math>l=0</math>인 항이 다른 항보다 매우 크다. 즉, 매우 작은 에너지에서는 <math>l,m=0</math>인 부분파만 고려하면 된다.

== 위상 변화 ==
위에서 정의한 부분파 진폭 <math>C^l_m</math>은 일반적으로 다음과 같은 꼴을 가진다.
:<math>C^l_m=\sqrt{4\pi}\exp(i\delta^l_m)\sin\delta^l_m</math>.
여기서 <math>\delta^l_m</math>을 <math>(l,m)</math> 부분파의 '''위상 변화'''({{lang|en|phase shift}})라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[베셀 함수]]
* [[헬름홀츠 방정식]]
* [[운죌트의 정리]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자=Jun John Sakurai, Jim J. Napolitano|연도=2011|제목=Modern Quantum Mechanics|출판사=Addison-Wesley|ISBN=0805382917|언어=영어|url=http://www.pearsonhighered.com/educator/product/Modern-Quantum-Mechanics/9780805382914.page}}
* {{서적 인용|성=Griffiths|이름=David J.|제목=Introduction to Quantum Mechanics|출판사=Addison-Wesley|isbn=0131118927|언어=영어|연도=2005|url=http://www.pearsonhighered.com/educator/product/Introduction-to-Quantum-Mechanics/9780131118928.page}}
* {{저널 인용|성=Peters|이름=Klaus|제목={{lang|en|A primer on partial wave analysis}}|저널={{lang|en|International Journal of Modern Physics A}}|권=21|호=27|쪽=5618|연도=2006|doi=10.1142/S0217751X06034811|arxiv=hep-ph/0412069}}

{{전거 통제}}

[[분류:양자역학]]
[[분류:산란 이론]]