부분정규 부분군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''부분정규 부분군'''(部分正規部分群, {{llang|en|subnormal subgroup}})은 [[정규 부분군]]을 거듭하여 취하여 얻을 수 있는 [[부분군]]이다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[부분군]] <math>H\le G</math>에 대하여,
:<math>H=H_0\vartriangleleft H_1\vartriangleleft H_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft H_n=G</math>
인 <math>G</math>의 [[부분군]]의 열 <math>(H_0,H_1,\dots,H_n)</math>이 존재한다면, <math>H</math>를 <math>G</math>의 '''부분정규 부분군'''이라고 한다. 이는
:<math>H\vartriangleleft\vartriangleleft G</math>
로 표기한다.

== 성질 ==
부분정규 부분군 관계는 자명하게 추이적이다. (반면, [[정규 부분군]]의 정규 부분군은 정규 부분군이 아닐 수 있다.) 유한 개의 부분정규 부분군의 [[교집합]]은 부분정규 부분군이다. [[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 부분정규 부분군들의 (포함 관계에 따른) [[부분 순서 집합]]이 [[오름 사슬 조건]]을 만족시킨다면 (예컨대 [[유한군]]이나 [[뇌터 군]]은 이를 만족한다), <math>G</math>의 유한 개의 부분정규 부분군 <math>H_1,\dots,H_n\vartriangleleft\vartriangleleft G</math>을 포함하는 최소의 부분군 <math>\langle H_1\cup\cdots\cup H_n\rangle\vartriangleleft\vartriangleleft G</math>은 부분정규 부분군이다.<ref name="Robinson">{{저널 인용
|이름=Derek S.
|성=Robinson
|제목=Joins of subnormal subgroups
|url=https://archive.org/details/sim_illinois-journal-of-mathematics_1965-03_9_1/page/n145
|언어=en
|저널=Illinois Journal of Mathematics
|권=9
|쪽=144–168
|날짜=1965
|issn=0019-2082
|mr=0170953
|zbl=0135.04805
}}</ref>

[[유한군]] <math>G</math> 및 [[부분군]] <math>H\le G</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>H</math>는 <math>G</math>의 부분정규 부분군이다.
* ('''케겔-빌란트 추측''', {{llang|en|Kegel–Wielandt conjecture}}) 임의의 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math> 및 <math>G</math>의 [[쉴로브 부분군|쉴로브 <math>p</math>-부분군]] <math>S</math>에 대하여, <math>H\cap S</math>는 <math>H</math>의 쉴로브 <math>p</math>-부분군이다.<ref name="Kleidman">{{저널 인용
|이름=Peter B.
|성=Kleidman
|제목=A proof of the Kegel-Wielandt conjecture on subnormal subgroups
|언어=en
|저널=Annals of Mathematics. Second Series
|권=133
|호=2
|쪽=369–428
|날짜=1991
|issn=0003-486X
|doi=10.2307/2944342
|mr=1097243
|zbl=0726.20012
|jstor=2944342
}}</ref><ref name="Levy" />
* 임의의 [[부분군]] <math>K\le G</math>에 대하여, 집합 <math>HK=\{hk\colon h\in H,\;k\in K\}</math>의 크기는 <math>G</math>의 크기를 나눈다.<ref name="Levy">{{저널 인용
|이름1=Dan
|성1=Levy
|제목=The size of a product of two subgroups and subnormality
|언어=en
|저널=Archiv der Mathematik
|권=118
|호=4
|쪽=361–364
|날짜=2022
|issn=0003-889X
|doi=10.1007/s00013-022-01710-8
|mr=4403171
|zbl=07514042
}}</ref>

== 역사 ==
케겔-빌란트 추측은 1991년 피터 브라운 클라이드먼({{llang|en|Peter Brown Kleidman}})이 증명하였다.<ref name="Kleidman" /> 클라이드먼의 증명은 유한 단순군의 분류와 부분군 구조를 사용한다.

== 같이 보기 ==
* [[특성 부분군]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{Groupprops|제목=Subnormal subgroup}}

[[분류:군론]]