부분분수 문서 원본 보기

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[[대수학]]에서 '''부분분수분해'''(Partial fraction decomposition) 또는 '''부분분수전개'''(partial fraction expansion)는 [[유리식]]의 분자나 분모의 [[차 (수학)#다항식의 차수|차수]]를 낮추는 데 이용한다. 전체 분수가 몇 개로 이루어진 분수의 합으로 표시된다. 본질적으로 정수 계수의 다항식들은 [[유클리드 정역]]이므로 [[유클리드 호제법]]을 이용할 수 있다.

== 예 ==
{{참고|en:Partial fraction#Some_examples|설명=더 많은 예가 필요하면}}
부분분수로 변형하는 계산은 다양한 계산에서 등장한다. 기교를 잘 익혀두면 쓸모가 많다.

=== 가분수를 대분수로 변형 ===
분자의 차수가 분모보다 높을 경우 초등학교의 가분수를 대분수로 바꾸는 계산과정과 동일한 방법을 통해 분자의 차수를 낮출 수 있다. 즉, 다음과 같은 분수
:<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>
가 주어졌는데, 분자의 차수가 분모의 차수보다 높아서 <math>f(x) = g(x)Q(x) + R(x)</math>와 같이 나눗셈으로 표현가능하다면, 이 분수는 다음과 같이 바꿀 수 있다.
:<math>Q(x) + \frac{R(x)}{g(x)}</math>
다항식의 나눗셈에 의해 당연히 <math>R(x)</math>는 <math>g(x)</math>보다 차수가 낮다.

=== 분자의 차수가 낮은 경우 ===
분자의 차수가 낮다고 하더라도, 여러 가지 방법으로 부분분수로 분해가능하다. 특히 분모가 일차식들의 곱의 형태로 표현될 경우 어렵지 않게 분해할 수 있다. 즉,
다음과 같이 분해된다.
:<math>\frac{f(x)}{(a_1 x+b_1)(a_2 x+b_2) \cdots (a_n x+b_n)} = \frac{A_1}{a_1 x+b_1} + \frac{A_2}{a_2 x+b_2} + \cdots + \frac{A_n}{a_n x+b_n}</math>
여기서 <math>A_1, .... , A_n</math>는 모두 항등식의 미정계수로서 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 다음과 같은 예를 보자.
:<math>\frac{x+3}{x^2-3x-40}</math>
위와 같이 주어진 유리식을 관찰해보면 분모가 <math>(x-8)(x+5)</math>로 일차식의 곱의 형태로 인수분해됨을 알 수 있다. 그리하여 다음과 같이 전개가능하다.
:<math>{x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}</math>
여기서 <math>A, B</math>는 정해지지 않은 계수, 즉 미정계수인데, 이는 항등식의 미정계수법을 통해 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 비교하거나(계수비교법), 적당한 상수를 대입하여 그 수치값을 비교하는(수치대입법) 방법 등을 동원하면 된다. 그리하여 <math>A = 11/13, B = 2/13</math>임을 확인할 수 있다.

=== 유용한 공식 ===
고교 수학 시험에도 흔히 등장하는 공식으로 다음과 같은 식이 있다.
:<math>\frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)</math>
좌변의 분수가 우변의 부분분수로 분해된다. <math>B - A</math>가 단순할 때 유용하다. 예를 들어 다음과 같이 분해된다.
:<math>\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}</math>

:<math>{1 \over (x+1)(x+2)} = {a \over x+1} - {b \over x+2}={a (x+2)\over (x+1)(x+2)} - {b (x+1)\over (x+2)(x+1)}={a (x+2)- {b (x+1)}\over (x+1)(x+2)} </math>
:<math>\therefore {1 \over \cancel{(x+1)(x+2)}} ={a (x+2)- { b(x+1)}\over \cancel{(x+1)(x+2)}} </math>
:<math>\therefore {1} ={ a(x+2)-  b(x+1)} </math>
:<math>{1} =ax+2a- bx-b </math>
:<math>{1} =(a-b)x+(2a-b) </math>
:우변의<math>x</math>차항에대한 좌변의 <math>x</math>차항은 없으므로 <math>x</math>차항의 계수는 <math>0</math>, 상수항은<math>1</math>이다.
빼면,
:<math>(a-b)-(2a-b)= 0 - 1 </math>
:<math>a-b-2a+b= - 1 </math>
:<math>-a= - 1 </math>
:<math>a= 1 </math>
이번에는 <math>(a-b)= 0 , (2a-b)=1 </math>을 더하면,
:<math>(a-b)+(2a-b)= 0 + 1 </math>
:<math>a-b+2a-b= 1 </math>
:<math>3a-2b= 1 </math>
:<math>3a-2b= 1 </math>에 <math>a=  1 </math>를 대입하면,
:<math>3-2b= 1 </math>
:<math>-2b= 1-3 </math>
:<math>-2b= -2 </math>
:<math>{2b \over 2}= {2 \over 2} </math>
:<math>b= 1 </math>
:<math> \therefore {1 \over (x+1)(x+2)} = {1 \over x+1} - {1 \over x+2}</math>


비슷하게, 다음과 같은 공식을 활용할 수 있다.
:<math>\frac{1}{A \cdot B \cdot C} = \frac{1}{C-A}\left(\frac{1}{A \cdot B} - \frac{1}{B \cdot C} \right)</math>

=== 분모의 인수분해 되지 않는 다항식 ===
분모에 더 이상 [[인수분해]] 되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어 분모가 삼차식이고 분자가 이차식 이하인 경우, 다음과 같이 분해된다.
:<math>\frac{ax^2 + bx + c}{(dx + e)(fx^2 + gx + h)} = \frac{A_1}{dx + e} + \frac{A_2 x + A_3}{fx^2 + gx + h}</math>
예를 들어 다음과 같다.
:<math>{10x^2+12x+20 \over x^3-8}</math>
이 경우 인수분해 공식에 의해 분모가 <math>x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)</math>와 같이 분해됨을 즉시 파악할 수 있다. 그리하여,
:<math>{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}</math>
위와 같이 변형된다. 여기서 <math>A, B, C</math>도 마찬가지로 미정계수이며, 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 계산해보면 차례로 7,3,4가 나오므로,
:<math>{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}</math>
위와 같은 등식이 성립하게 된다.

=== 분모의 거듭제곱된 항의 포함 ===
분모에 거듭제곱된 일차항이 포함될 경우 다음과 같이 계산된다. 예를 들어,
:<math>{p(x) \over (x+2)(x+3)^5}</math>
와 같은 식일 경우 다음과 같은 방법으로 부분분수를 설정해야 한다.
:<math>{A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^2}+{D \over (x+3)^3}+{E \over (x+3)^4}+{F \over (x+3)^5}</math>
이를 응용하여 다음과 같이 거듭제곱된 이차항을 포함한다고 하자.
:<math>{p(x) \over (x+2)(x^2+1)^5}</math>
그러면 미정계수를 포함하는 분자는 모두 일차식이 된다.
:<math>{A \over x+2}+{Bx+C \over x^2+1}+{Dx+E \over (x^2+1)^2}+{Fx+G \over (x^2+1)^3}+{Hx+I \over (x^2+1)^4}+{Jx+K \over (x^2+1)^5}</math>
:

== 응용 ==
부분분수로 분해하는 계산은 다양한 곳에서 응용될 수 있다.
=== 계산하기 어려운 값 ===
가장 유명한 예로 다음 주어진 일련의 분수식을 간단히 만드는 데 응용할 수 있다.
:<math>\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}</math>

:<math>= \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}</math>

:<math>= \frac{1}{x} - \frac{1}{x+4}</math>

=== 적분하기 어려운 함수 ===
다음과 같은 함수는 직접 적분하기 어렵다.
:<math>\int \frac{2}{x^2 - 1} dx</math>
그러나 다음과 같이 부분 분수로 변형하여 쉽게 적분할 수 있다.
:<math>\int \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} dx = \ln |x - 1| - \ln |x + 1| + C</math>
물론 <math>C</math>는 [[적분상수]]([[:en:Constant of integration|Constant of integration]])이다.

=== 무한급수의 일반항 ===
다음과 같은 유리식을 무한급수로 표현했다고 하자.
:<math>\frac{2-x}{(1-x)^2} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots</math>
이 무한급수의 계수들은 수열이 되는데, 그 일반항을 직접 구하기는 어렵다. 그러나 부분분수로 쪼개서 계산할 수 있다.
:<math>\frac{2-x}{(1-x)^2} = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2}</math>
이 때, 다음 등식을 이용한다.
:<math>\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \frac{d}{dx}\sum x^n = \sum (n+1)x^n</math>
그리하여 다음을 얻는다.
:<math>\frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} = \sum x^n + \sum (n+1)x^n = \sum (n+2)x^n</math>

=== 역 라플라스 변환 ===
역 [[라플라스 변환]](Inverse Laplace transform)이 어려운 [[미분방정식]]을 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 미분방정식이 있다고 하자.<ref>{{서적 인용
  | 성 = Braun
  | 이름 = Martin
  | 제목 = Differential Equations and Their Applications
  | 출판사 = Springer-Verlag
  | 연도 = 1992
  | doi =
  | 쪽 = 230~231
  |ISBN=978-0-387-97894-9
}}</ref>
:<math>\frac{d^2 y}{dt^2} - 3 \frac{dy}{dt} + 2y = e^{3t} ;\; y(0) = 1, y'(0) = 0</math>
양변에 라플라스 변환을 취해 다음의 등식이 된다.
:<math>s^2 Y(s) - s - 3[sY(s) - 1] + 2Y(s) = \frac{1}{s-3}</math>
그리하여 이를 <math>Y(s)</math>에 대해 정리하면 다음 등식이 성립한다.
:<math>
\begin{align}
Y(s) &= \frac{1}{(s-3)(s^2 -3s +2)} + \frac{s-3}{s^2 -3s +2}\\
 & = \frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)} + \frac{s-3}{(s-1)(s-2)}
\end{align}
</math>
그런데 이 두 항은 직접 역 라플라스 변환을 취하기에 너무 어렵다. 다음과 같이 모두 부분분수로 쪼갤 수 있다.
:<math>
\begin{align}
Y(s) & = \frac{1}{2} \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3} + \frac{2}{s-1} - \frac{1}{s-2}\\
 & = \frac{5}{2} \frac{1}{s-1} - \frac{2}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3}
\end{align}
</math>
그리하여 해는 다음과 같이 된다.
:<math>y(t) = \frac{5}{2}e^t - 2e^{2t} + \frac{1}{2}e^{3t}</math>

== 같이 보기 ==
* [[분수 (수학)|분수]]

== 각주 ==
<references />

{{전거 통제}}

[[분류:대수학]]
[[분류:초등대수학]]
[[분류:분수]]