복시테인 준동형 문서 원본 보기

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[[호몰로지 대수학]]에서 '''복시테인 준동형'''(Бокштейн準同型, {{llang|en|Bockstein homomorphism}})은 [[아벨 군]]의 [[짧은 완전열]]에 의하여 생성되는 [[코호몰로지 연산]]이다.

== 정의 ==
[[공사슬 복합체]]의 [[짧은 완전열]]이 주어졌다고 하자.
:<math>0\to C^\bullet\xrightarrow\iota D^\bullet\xrightarrow\pi E^\bullet\to 0</math>
그렇다면, [[지그재그 보조정리]]를 사용해 다음과 같은 [[코호몰로지]] [[긴 완전열]]을 만들 수 있다.
:<math>\Sigma\operatorname H_\bullet(E)\xrightarrow\beta\operatorname H^\bullet(C)\xrightarrow{\iota_*}\operatorname H^\bullet(D)\xrightarrow{\pi_*}\operatorname H_\bullet(E)</math>
연결 사상 <math>\beta</math>을 '''복시테인 준동형'''이라고 한다. 여기서
:<math>(\Sigma C)_\bullet=C_{\bullet-1}</math>
는 사슬 복합체의 현수이다.

[[사슬 복합체]]의 [[호몰로지]]의 경우에도 마찬가지로 복시테인 준동형이 존재한다. 일반적으로, 원래 (공)사슬 복합체의 등급이 <math>\deg d</math>라면, 복시테인 준동형의 등급 역시 <math>\deg d</math>이다.

=== 복시테인 스펙트럼 열 ===
[[공사슬 복합체]] <math>C_\bullet</math>의, 등급 <math>n</math>의 [[단사 사상|단사]] [[자기 사상]]
:<math>f\colon\Sigma^nC^\bullet\to C^\bullet</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 [[짧은 완전열]]을 적을 수 있다.
:<math>0\to \Sigma^nC^\bullet\xrightarrow fC^\bullet\xrightarrow q\operatorname{coker}f\to 0</math>
그렇다면, 이에 대한 [[코호몰로지]]를 취하면 다음과 같은 [[완전쌍]]을 얻는다.
:<math>\Sigma^n\operatorname H^\bullet(C)\xrightarrow{f_*}\operatorname H^\bullet(C)\xrightarrow{q_*}\operatorname H_\bullet(\operatorname{coker}f)\xrightarrow\beta\Sigma^{-1}\operatorname H_\bullet(\operatorname{coker}f)</math>
이에 대하여 유도되는 [[스펙트럼 열]]을 '''복시테인 스펙트럼 열'''(Бокштейн spectrum列, {{llang|en|Bockstein spectral sequence}})이라고 하며, 그 첫 쪽은 다음과 같다.<ref name="Palmieri">{{웹 인용|제목=A user’s guide to the Bockstein spectral sequence|url=http://www.math.washington.edu/~palmieri/Papers/bss.pdf|이름=J. H.|성=Palmieri|날짜=2005|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 3.8(a)}}
:<math>E_1^{p,q}=\begin{cases}
\operatorname H^{p(1-n)+q}(\operatorname{coker}f)&p\ge0\\
0&p<0
\end{cases}</math>
:<math>d^n=q_*\circ\beta</math>
:<math>\deg d^n=(r,1-r)</math>
만약 <math>n>0</math>이며 <math>\operatorname H^\bullet(\operatorname{coker}f)</math>가 [[하계 (수학)|하계]]를 갖는다면 (즉, <math>\{n\in\mathbb Z\colon\operatorname H^n(\operatorname{coker}f)\ne0\}</math>가 [[하계 (수학)|하계]]를 갖는다면), 이는 다음으로 수렴한다.<ref name="Palmieri"/>{{rp|Theorem 3.8(b)}}
:<math>E_n^{p,q}\Rightarrow \operatorname H^{p+q}(C)</math>
마찬가지로 호몰로지의 경우에도 복시테인 스펙트럼 열을 적을 수 있다.

== 예 ==
=== 스틴로드 연산 ===
가장 흔히 쓰이는 복시테인 준동형은 다음 [[짧은 완전열]]로부터 유도한, [[코호몰로지]]에 대한 준동형들이다.
:<math>0\to\mathbb Z/n\to\mathbb Z/n^2\to\mathbb Z/n\to0</math>
그렇다면, 위상 공간 <math>X</math> 위의 [[특이 사슬 복합체]]에 대하여 다음과 같은 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to C(X)\otimes \mathbb Z/n\to C(X)\otimes\mathbb Z/n^2\to C(X)\otimes\mathbb Z/n\to0</math>
이로부터 다음과 같은 복시테인 준동형을 유도한다.
:<math>\beta\colon H^n(X,\mathbb Z/n)\to H^{n+1}(X,\mathbb Z/n)</math>
이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.
* <math>\beta^2=0</math> (<math>n</math>은 3 이상의 [[소수 (수론)|소수]])
* <math>\beta(a\smile b)=\beta(a)\smile b+(-)^{\deg a}a\smile\beta(b)</math>
따라서, 이 복시테인 준동형은 (등급 달린) [[라이프니츠 법칙]]을 만족시키는 (등급) [[미분 (대수학)|미분]]을 이룬다.

=== 정수 슈티펠-휘트니 특성류 ===
이와 비슷하게, [[짧은 완전열]]
:<math>0\to\mathbb Z/n\to\mathbb Z\to\mathbb Z\to0</math>
에 대한 복시테인 준동형
:<math>\beta\colon H^n(X,\mathbb Z/n)\to H^{n+1}(X,\mathbb Z)</math>
또한 쓰인다. 예를 들어, 정수 [[슈티펠-휘트니 특성류]] <math>W^n(X)\in H^n(X,\mathbb Z)</math>는 (일반) 슈티펠-휘트니 특성류 <math>w^{n-1}(X)\in H^{n-1}(X,\mathbb Z/2)</math>에 복시테인 준동형을 가하여 얻는다.

== 역사 ==
메예르 펠릭소비치 복시테인({{llang|ru|Ме́ер Фе́ликсович  Бокште́йн}}, 1913~1990)이 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Bockstein | first=M. | title=Universal systems of ∇-homology rings | mr=0008701 | year=1942 | journal=Доклады Академии Наук СССР | volume=37 | pages=243–245|zbl=0060.40901|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Bockstein | first=M. | title=A complete system of fields of coefficients for the ∇-homological dimension | mr=0009115 | year=1943 | journal=Доклады Академии Наук СССР | volume=38 | pages=187–189|zbl=0060.40902|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용
 |last= Bockstein
 |first= Meyer
 |title= Sur la formule des coefficients universels pour les groupes d’homologie
 |journal=Comptes Rendus de l’Académie des Sciences
 |volume= 247
 |year= 1958
 |pages= 396–398
 |mr= 0103918 | zbl=0082.16501
 |언어=fr
 }}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic Topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |year= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |isbn=0-521-79540-0|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Bockstein homomorphism}}
* {{nlab|id=Bockstein spectral sequence}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 이론]]
[[분류:대수적 위상수학]]