복소함수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''복소 함수'''(複素函數, {{llang|en|function of a complex variable}})는 [[정의역]]과 [[공역]]의 원소가 모두 [[복소수]]인 [[함수]]이다.

== 정의 ==
복소 함수는 <math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math> 꼴의 함수이다. 그 대응 규칙은 다음과 같다.
:<math>f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)</math>
여기서 <math>u,v\colon\mathbb R^2\to\mathbb R</math>이다.

== 예 ==
복소 함수에는 복소 지수 함수, 복소 삼각 함수, 복소로그 함수 등이 있다.

=== 복소 지수함수 ===
복소 지수 함수는 다음과 같이 표현되는 복소 함수이다. 
:<math>e^{z}\,=\,e^{x}\left( \cos y+i\sin y \right)</math>

다음과 같은 성질을 갖는다.
:<math>e^{iy}\,=\,\cos y+i\sin y</math> (오일러 공식)
이며, <math>z=re^{i\theta }</math>는
:<math>e^{2\pi i}=1</math>
로 나타낼 수 있다.

또한 
:<math>e^{z+2\pi i}=e^{z}</math>
이므로, <math>w=e^{z}</math>가 가질 수 있는 값은 폭 <math>2\pi </math>인 수평띠 
:<math>-\pi <y\le \pi </math>
안에 있게 되는데, 이 무한 띠를 <math>e^{z}</math>의 '''기본영역'''(fundamental region)이라 부른다.

=== 복소 삼각함수 ===
:<math>\cos z=\frac{1}{2}\left( e^{iz}+e^{-iz} \right),\sin z=\frac{1}{2i}\left( e^{iz}-e^{-iz} \right)</math>
실삼각함수에 대한 모든 익숙한 공식은 복소값에 대해서도 성립한다. 
:<math>\begin{align}
 & \cos \left( z_{1}\pm z_{2} \right)=\cos z_{1}\cos z_{2}\mp \sin z_{1}\sin z_{2} \\ 
 & \sin \left( z_{1}\pm z_{2} \right)=\sin z_{1}\cos z_{2}\pm \sin z_{2}\cos z_{1} \\ 
\end{align}</math>

=== 복소 쌍곡선함수 ===
:<math>\cosh z=\frac{1}{2}\left( e^{z}+e^{-z} \right),\sinh z=\frac{1}{2}\left( e^{z}-e^{-z} \right)</math>

===복소 삼각함수와 쌍곡선함수의 관계===
복소[[쌍곡선함수]]와 [[삼각함수]]의 관계는 다음과 같다.
:<math>\cosh iz=\cos z,\,\sinh iz=i\sin z,\,\tanh iz=i\tan z</math>
복소[[삼각함수]]와 [[쌍곡선함수]]의 관계는 다음과 같다.
:<math>\cos iz=\cosh z,\,\sin iz=i\sinh z,\,\tan iz=i\tanh z</math>

=== 복소 로그함수 ===
<math>z=x+iy</math>의 [[자연로그]](natural logarithm)는 <math>\ln \, z</math>로 표시하고 [[지수함수]]의 [[역함수]]로 정의한다. 
:<math>\begin{align}
 & \ln z=\ln r+i\theta \\ 
 & \left( r=\left| z \right|>0,\theta =\arg z \right) \\ 
\end{align}</math>
이때, 실미적분학과 다른 점을 발견할 수 있다. <math>z</math>의 편각은 <math>2\pi </math>의 임의의 정수배를 더한 값들로 결정되므로, 복소자연로그
<math>\ln z \ \left( z\ne 0 \right)</math>는 무한히 많은 값을 갖는다. 
<math>\operatorname{Arg}\,\,z</math>에 상응하는 <math>\ln \, z</math>의 값을 <math>\operatorname{Ln}\,\,z</math>로 표기하고, <math>\ln \,z</math>의 주값(principal value)이라 부른다. 따라서,
:<math>\operatorname{Ln}\,z=\ln \left| z \right|+i \operatorname{Arg}\,z</math>
이다. <math>\operatorname{Arg} \,z</math>의 다른 값들은 <math>2\pi </math>의 정수배만큼 다르므로 <math>\ln \, z</math>의 다른 값들은 
:<math>\ln z=\operatorname{Ln}\,z\pm 2n\pi i</math>
이 된다.

=== 일반 거듭제곱 ===
복소수 <math>z=x+iy</math>의 일반 [[거듭제곱]] 공식
:<math>z^{c}\,=\,e^{c\ln z}</math>
로 정의된다.

== 참고 도서 ==
{{서적 인용
 | 성 = Kreyszig
 | 이름 = Erwin
 | 제목 = Advanced Engineering Mathematics 8th ed.
 | url = https://archive.org/details/advancedengineer0008krey
 | 출판사 = John Wiley & Sons, INC.
 | 연도 = 1999
 |ISBN=0-471-15496-2 }}

{{토막글|수학}}

[[분류:복소해석학]]