보흐너 적분 문서 원본 보기

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[[함수해석학]]에서 '''보흐너 적분'''(Bochner積分, {{llang|en|Bochner integral}})은 [[바나흐 공간]] 값의 함수에 대하여 정의되는, [[르베그 적분]]의 일반화이다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>
* <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>(V,\|\|_V)</math>
* [[측도 공간]] <math>(X,\mathcal S,\mu)</math>
그렇다면, <math>X\to V</math> '''[[단순 함수]]'''는 다음과 같은 꼴의 [[함수]] <math>f\colon X\to V</math>이다.
:<math>f=\sum_{i=1}^kv_i\chi_{S_i}</math>
:<math>v_1,\dotsc,v_k\in V</math>
:<math>S_1,\dotsc,S_k\in\mathcal S</math>
:<math>k\in\mathbb N</math>
(여기서 <math>\chi</math>는 [[지시 함수]]이다.)

단순 함수의 '''보흐너 적분'''은 다음과 같다.
:<math>\int_X \left(\sum_{i=1}^kv_i\chi_{S_i}\right)\,\mathrm d\mu=\sum_{i=1}^kv_i\mu(S_i)\in V</math>
임의의 함수 <Math>f\colon X\to V</math>에 대하여, 만약 (다음 좌변이 존재하며) 다음 등식이 성립하는 단순 함수열 <math>(f_i)_{i\in\mathbb N}</math>이 존재한다면, <math>f</math>를 '''보흐너 적분 가능 함수'''라고 한다.
:<math>\lim_{i\to\infty}\int_X\|f-f_i\|_V\,\mathrm d\mu=0</math>
여기서 좌변의 적분은 실수 값의 [[르베그 적분]]이다.

이 경우, 보흐너 적분 가능 함수 <math>f</math>의 '''보흐너 적분'''은 다음과 같다.
:<math>\int_Xf\,\mathrm d\mu=\lim_{i\to\infty}\int_X f_i\,\mathrm d\mu</math>
여기서 우변의 극한은 [[노름]] [[거리 위상]]에 대한 것이다.

=== 보흐너 공간 ===
<math>X\to V</math> 보흐너 적분 가능 함수들의 <math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]]을 <math>\mathcal L^1(X;V)</math>라고 하자. 그 위에 [[반노름]]
:<math>\|f\|=\int_X\|f\|_V\,\mathrm d\mu</math>
을 줄 수 있다. 이 반노름이 0인 원소들의 부분 벡터 공간에 대한 몫
:<math>\operatorname L^1(X;V)=\frac{\mathcal L^1(X;V)}{\{f\in \mathcal L^1(X;V)\colon \mu(\{x\in X\colon f(x)\ne0\})=0\}}</math>
을 1-'''보흐너 공간'''({{llang|en|Bochner space}})이라고 한다.

== 예 ==
만약 <math>V=\mathbb K</math>일 경우, <math>V</math>값의 보흐너 적분은 [[르베그 적분]]과 같다.

== 역사 ==
[[잘로몬 보흐너]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|last=Bochner|first=Salomon|저자링크=잘로몬 보흐너|title=Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind|journal=Fundamenta Mathematicae|year=1933|volume=20|pages=262–276| url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm20/fm20127.pdf|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Bochner integral}}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:적분]]