보편 완비 가측 공간 문서 원본 보기

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[[측도론]]에서, 가측 공간 위의 '''보편 완비 가측 공간'''(普遍完備可測空間, {{llang|en|universally complete measurable space}})은 모든 시그마 유한 [[완비 측도 공간|완비화]]에 대하여 [[가측 집합]]이 되는 [[부분 집합]]들만을 [[가측 집합]]으로 삼는 [[가측 공간]]이다.

== 정의 ==
[[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''시그마 유한 측도 공간'''({{llang|en|sigma-finite measure space}})이라고 한다.
* <math>\textstyle X=\bigcup\mathcal S</math>인 [[가산 집합]] <math>\mathcal S\subseteq\{S\in\Sigma\colon\mu(S)<\infty\}</math>가 존재한다.

가측 공간 <math>(X,\Sigma)</math> 위의 시그마 유한 [[측도]]들의 집합을 <math>\operatorname{\sigma-finMeas}(X,\Sigma)</math>라고 표기하고, <math>(X,\Sigma)</math> 위의 [[확률 공간|확률 측도]]들의 집합을 <Math>\operatorname{probMeas}(X,\Sigma)</math>라고 표기하자. 그렇다면, 집합족 <math>\Sigma^{\text{univ}}</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\Sigma^{\text{univ}}=\bigcap_{\mu\in \operatorname{probMeas}(X,\Sigma)}\bar\Sigma_\mu=\bigcap_{\mu\in\operatorname{\sigma-finMeas}(X,\Sigma)}\bar\Sigma_\mu</math>
이다. 여기서 <math>\bar\Sigma_\mu</math>는 측도 <math>\mu</math>에 대한 <math>\Sigma</math>의 [[완비 측도 공간|완비화]]이다.
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'''두 항의 일치의 증명:'''
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시그마 유한 [[완비 측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math>에 대하여, 같은 [[가측 집합]]들과 [[영집합]]들을 갖는 [[확률 공간]] 구조 <math>(X,\Sigma,\mu'')</math>를 구성하면 족하다.

시그마 유한 조건의 정의에 따라
:<math>X=\bigcup_{i=0}^\infty S_i</math>
:<math>\forall i\in\mathbb N\colon (S_i\in\Sigma\land\mu(S_i)<\infty)</math>
라고 하자. 그렇다면,
:<math>S_i'=S_i\setminus(S_0\cup S_1\cup\cdots\cup S_{i-1})</math>
를 정의하고, 또한 <math>\Sigma</math> 위에 다음과 같은 두 [[측도]]를 정의하자.<ref name="Doberkat"/>{{rp|524, §4.6}}
:<math>\mu'(A)=\sum_{i=0}^\infty 2^{-i}\frac{\mu(A\cap S'_i)}{\mu(S'_i)+1}\qquad\forall A\in\Sigma</math>
:<math>\mu''(A)=\frac{\mu'(A)}{\mu'(X)}\qquad\forall A\in\Sigma</math>
그렇다면, <math>(X,\Sigma,\mu'')</math>는 [[확률 공간]]을 이룬다. 또한,
:<math>\forall A\in\Sigma\colon\mu(A)=0\iff \mu''(A)=0</math>
인 것은 쉽게 확인할 수 있다.
</div></div>
<math>\Sigma^{\text{univ}}</math>의 원소를 '''<math>\Sigma</math>-보편 가측 집합'''(<math>\Sigma</math>-普遍可測集合, {{llang|en|<math>\Sigma</math>-universally measurable set}})이라고 한다.<ref name="Kechris">{{서적 인용|이름=Alexander Sotirios|성=Kechris|제목=Classical descriptive set theory|출판사=Springer-Verlag|날짜=1995|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-1-4612-4190-4|isbn=978-1-4612-8692-9|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=156|zbl=0819.04002|mr=1321597|언어=en}}</ref>{{rp|155, §21.D}} <math>\Sigma^{\text{univ}}</math> 역시 <math>X</math> 위의 [[가측 공간]] 구조를 이루며, <math>(X,\Sigma^{\text{univ}})</math>를 <math>(X,\Sigma)</math>의 '''보편 완비화'''(普遍完備化, {{llang|en|universal completion}})라고 한다.<ref name="Doberkat">{{서적 인용|제목=Special topics in mathematics for computer scientists: sets, categories, topologies and measures|url=https://archive.org/details/specialtopicsinm0000erns|출판사=Springer-Verlag|성=Doberkat|이름=Ernst-Erich|doi=10.1007/978-3-319-22750-4|isbn=978-3-319-22749-8|날짜=2015|언어=en}}</ref>{{rp|526–527, §4.6}} 만약 <math>\Sigma=\Sigma^{\text{univ}}</math>라면, <math>(X,\Sigma)</math>를 '''보편 완비 가측 공간'''이라고 한다.

== 성질 ==
만약 [[ZFC]]가 [[무모순적]]이라면, [[ZFC]] + ‘[[실수선]]의 [[보렐 가측 공간]]은 <math>2^{\aleph_0}</math> 개의 보편 가측 집합들을 갖는다’도 역시 [[무모순적]]이다.<ref name="LNS">{{저널 인용|이름=Paul|성=Larson|arxiv=1003.2479|bibcode=2010arXiv1003.2479L|이름2=Itay|성2=Neeman|이름3=Saharon|성3=Shelah|저자링크3=사하론 셸라흐|제목=Universally measurable sets in generic extensions|저널=Fundamenta Mathematicae|권=208|호=2|쪽=173–192|zbl=1196.03064|issn=0016-2736|doi= 10.4064/fm208-2-4 |언어=en}}</ref>

만약 [[ZFC]]가 [[무모순적]]이라면, [[ZFC]] + ‘[[실수선]]의 [[보렐 가측 공간]]은 [[준열린집합]]이 아닌 보편 가측 집합들을 갖는다’도 역시 [[무모순적]]이다.<ref name="LNS"/>{{rp|21}}

== 예 ==
[[유클리드 공간]]의 [[보렐 가측 공간]] 위의 [[르베그 측도]]는 시그마 유한 [[완비 측도]]이다. 따라서, 모든 보편 가측 집합은 [[르베그 가측 집합]]이나, 그 역은 성립하지 않는다.

[[폴란드 공간]]의 [[보렐 가측 공간]] 위의 모든 [[해석적 집합]]은 보편 가측 집합이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|155, Theorem 21.10}} [[사영 결정 공리]]를 가정한다면, [[폴란드 공간]]의 [[보렐 가측 공간]] 위의 모든 [[사영 집합]]은 보편 가측 집합이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|326, §38.17(ii)}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Universally measurable}}

{{전거 통제}}

[[분류:측도론]]