보른-인펠트 이론 문서 원본 보기

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[[이론물리학]]에서 '''보른-인펠트 이론'''(Born-Infeld異論, {{llang|en|Born–Infeld theory}})은 비선형 [[전자기학|전자기]] 이론의 하나다.<ref>{{서적 인용|장=Born–Infeld equations|이름=Alexander A.|성=Chernitskii|제목=Encyclopedia of Nonlinear Science|출판사=Routledge|isbn=978-1-57958-385-9|날짜=2004-11-29|쪽=67–69|arxiv=hep-th/0509087|editor1-first=Alwyn|editor1-last=Scott|url=https://www.routledge.com/Encyclopedia-of-Nonlinear-Science/Scott/p/book/9781579583859|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Many faces of Born–Infeld theory|이름=Sergei V.|성=Ketov|arxiv=hep-th/0108189|날짜=2001|bibcode=2001hep.th....8189K|언어=en}}</ref><ref name="Tseytlin">{{서적 인용|장=Born–Infeld action, supersymmetry and string theory|이름=Arkady A.|성=Tseytlin|날짜=2000-07|arxiv=hep-th/9908105|doi=10.1142/9789812793850_0025|쪽=[https://archive.org/details/manyfacesofsuper0000unse/page/n430 417]–452|제목=The many faces of the superworld: Yuri Golfand memorial volume|url=https://archive.org/details/manyfacesofsuper0000unse|isbn=978-981-02-4206-0|출판사=World Scientific|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Brane effective actions, kappa-symmetry and applications|이름=Joan|성=Simón|arxiv=1110.2422|저널=Living Reviews in Relativity|doi=10.12942/lrr-2012-3|권=15|쪽=3|연도=2012|issn=1433-8351|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Acción de Born–Infeld y supersimetría|이름=Guillermo A.|성=Silva|출판사=[[쿠요 국립 대학교]]|arxiv=hep-th/0012267|bibcode=2000hep.th...12267S|날짜=2000|기타=박사 학위 논문|언어=es}}</ref> 약한 장 극한에서 [[맥스웰 방정식|맥스웰 이론]]으로 수렴하지만, 점전하의 근처에서 장세기가 발산하지 않는다. [[끈 이론]]에 등장한다.

== 정의 ==
편의상 <math>c=\epsilon_0=1</math>로 놓자. 그렇다면, 보른-인펠트 이론의 [[작용 (물리학)|작용]]은 다음과 같다.
:<math>S=\int\left(-\sqrt{-\det\left(\eta+{F\over b}\right)}\right)\,\mathrm{d}x^4</math>
여기서 <math>\eta</math>는 [[민코프스키 공간|민코프스키]] [[계량 텐서]]이며, ''F''는 [[패러데이 텐서]]다. ''b''는 척도 매개 변수다. 사실, <math>b</math>는 [길이]<sup>2</sup>의 단위를 가지므로, 장세기 <math>F</math>를 재정의하여 없앨 수 있으며, 따라서 이 이론은 사실 (단위 없는) 매개 변수를 갖지 않는다.

3차원 벡터로 쓰면 작용은 다음과 같다.
:<math>S=\int\left(-\sqrt{1-\frac{E^2-B^2}{b^2}-\frac{(\mathbf E\cdot\mathbf B)^2}{b^4}}\right)\,\mathrm{d}x^4</math>
여기서 <math>\mathbf E</math>는 [[전기장]], <math>\mathbf B</math>는 [[자기장]]이다.

=== 유도 ===
보른-인펠트 이론은 다음 5가지 조건을 만족시키는 유일한 고전 장론이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=math-ph/0306076|제목=Electromagnetic field theory without divergence problems 1. The Born legacy|이름=Michael K.-H.|성=Kiessling|날짜=2004-08|doi=10.1023/B:JOSS.0000037250.72634.2a|저널=Journal of Statistical Physics|권=116|호=1|쪽=1057–1122|bibcode=2004JSP...116.1057K|issn=0022-4715|언어=en}}</ref>{{rp|§1}}<ref>{{서적 인용|성=Białynicki-Birula|이름=I.|장=Nonlinear electrodynamics: variations on a theme by Born and Infeld|쪽=31–48|제목=Quantum theory of particles and fields: birthday volume dedicated to Jan Lopuszanski|editor1-first=Bernard|editor1-last=Jancewicz|editor2-first=Jerzy|editor2-last=Lukierski|출판사=World Scientific|날짜=1983|isbn=978-997195077-4|언어=en}}</ref>
# [[푸앵카레 변환]]에 대하여 불변이다.
# 약한 장세기 극한에서 [[맥스웰 방정식|맥스웰 이론]]에 수렴한다.
# 바일 게이지 변환에 대하여 불변이다.
# 점입자의 전자기 에너지는 유한하다.
# 전자기파의 속력이 편광 방향에 관계 없이 일정하다.

== 성질 ==
보른-인펠트 이론에서는 전자기장의 크기가 제약을 받는다. 정확히 말하면, 전기장 <math>\mathbf E</math>과 자기장 <math>\mathbf B</math>는 다음을 만족한다.
:<math>E^2-B^2+(\mathbf E\cdot\mathbf B)^2/b^2\le b^2</math>.
즉, 만약 자기장이 없으면 (<math>\mathbf B=\mathbf 0</math>) 전기장의 최댓값은 <math>b</math>이다.
:<math>E\le b</math>.
또한, 만약 전자기장의 크기가 <math>b</math>보다 현저히 작다면 (<math>E,B\ll b</math>) 보른-인펠트 이론은 [[맥스웰 방정식|맥스웰 이론]]으로 수렴한다.

구체적으로, 유클리드 부호수의 4차원 보른-인펠트 이론을 생각하자. 이 경우
:<math>\begin{aligned}\det(\eta+F/b) &= 1 + \frac12b^{-2}F_{ij}F^{ij} + \frac1{16}b^{-4}\left(F_{ij}(\star F)^{ij}\right)^2 \\
&= \left(1+\frac1{4b^2}F_{ij}(\star F)^{ij}\right)^2 + \frac1{4b^2}(F-\star F)_{ij}(F-\star F)^{ij}
\end{aligned}</math>
:<math>(\star F)_{ij} = \frac12\epsilon_{ijkl}F^{kl}</math>
이므로,<ref name="Tseytlin"/>{{rp|(3.2)}}
:<math>\sqrt{\det(\eta+F/b)}-1 \ge \frac14b^{-2}F_{ij}(\star F)^{ij}</math>
이며, 이는 [[천 특성류]]이다. 즉, 자기 쌍대 장세기(아벨 [[양-밀스 순간자]])는 BPS 조건을 만족시켜, 자동적으로 보른-인펠트 이론의 해를 이룬다. <math>F \ll b</math> 극한에서는
:<math>\sqrt{\det(\eta+F/b)} - 1 = \frac1{4b^2} F_{ij}F^{ij} + \mathcal O(b^{-4})</math>
이므로 그 작용은 맥스웰 작용으로 근사된다. 반면, <math>F</math>가 크다면 작용은 위와 같이 [[천 특성류]] 항으로 근사된다. 또한, 4차원 보른-인펠트 작용은 [[전기-자기 이중성]]
:<math>F \leftrightarrow \star F</math>
에 대하여 (맥스웰 작용과 마찬가지로) 불변이다.

=== 점전하의 자체 에너지 ===
맥스웰 이론에서는 점전하의 자체 에너지가 발산한다. 역사적으로 보른과 인펠트는 전자의 자체 에너지가 맥스웰 이론에서 발산하는 문제를 풀기 위하여 보른-인펠트 이론을 도입하였다. 보른-인펠트 이론에서는 점전하의 전자기장 <math>\mathbf E</math>, <math>\mathbf B</math>가 유한하지만, 에너지 밀도는 발산하게 된다. 그러나 이 경우 총 에너지는 유한하다.<ref>{{서적 인용|성=Zwiebach|이름=Barton|제목=A first course in string theory|판=2|출판사=Cambridge University Press|날짜=2009|ISBN=0-521-88032-7|doi=10.2277/0521880327|url=http://xserver.lns.mit.edu/~zwiebach/firstcourse.html|언어=en|확인날짜=2013-01-07|보존url=https://web.archive.org/web/20100728050323/http://xserver.lns.mit.edu/~zwiebach/firstcourse.html|보존날짜=2010-07-28|url-status=dead}}</ref>{{rp|442}} 이러한 해를 '''바이온'''({{llang|en|BIon}})이라고 한다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1016/S0550-3213(97)00795-5|arxiv=hep-th/9709027|이름=Gary W.|성=Gibbons|저자링크=게리 기번스|저널=Nuclear Physics B|권=514|호=3|날짜=1998-03-23|쪽=603–639|제목=Born–Infeld particles and Dirichlet ''p''-branes|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Aspects of Born–Infeld theory and string/M-theory|저널=American Institute of Physics Conference Proceedings|권=589|쪽=324–350|doi=10.1063/1.1419338|연도=2001|이름=Gary W.|성=Gibbons|저자링크=게리 기번스|arxiv=hep-th/0106059|bibcode=2001AIPC..589..324G|언어=en}}</ref> 여기서 "BI"는 "보른-인펠트"의 약자이다.

== 실험 ==
보른-인펠트 이론을 실제 세계를 묘사하는, [[양자 전기 역학]]의 보정으로 여길 경우, 이를 뒷받침하는 실험적 증거는 현재 (2016년) 존재하지 않으며, 보른-인펠트 이론의 매개 변수 <math>b</math>에 대한 하한은 실험적으로 측정되었다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1605.04102|제목=Limits on Non-Linear Electrodynamics|이름=M.|성=Fouché|이름2=R.|성2=Battesti|이름3=C.|성3=Rizzo|doi=10.1103/PhysRevD.93.093020|날짜=2016-05-31|저널=Physical Review D|권=93|호=9|쪽=093020|bibcode=2016PhRvD..93i3020F|언어=en}}</ref>{{rp|§IV.D}}

구체적으로, 1973년의 실험에 따르면
:<math>b\ge 17\;\mathrm{ZV/m}</math>
이다.<ref>{{저널 인용|이름=G.|성=Soff|이름2=J.|성2=Rafelski|이름3=W.|성3=Greiner|저널=Physical Review A|권=7|쪽=903|날짜=1973|제목=Lower bound to limiting fields in nonlinear electrodynamics|doi=10.1103/PhysRevA.7.903|언어=en}}</ref> 그러나 이 실험의 해석에 대하여 최근에 이의가 제기되었다.<ref>{{저널 인용|이름=H.|성=Carley|이름2=M. K.-H.|성2=Kiessling|저널=Physical Review Letters|권=96|쪽=030402|날짜=2006|doi=10.1103/PhysRevLett.96.030402|제목=Nonperturbative calculation of Born-Infeld effects on the Schrödinger spectrum of the hydrogen atom|arxiv=math-ph/0506069|pmid=16486669|언어=en}}</ref>

== 디랙-보른-인펠트 작용 ==
[[끈 이론]]에서, [[D-막]] 위의 [[게이지 장]]은 위와 비슷한 꼴의 작용을 가지는데, 이를 '''디랙-보른-인펠트 작용'''({{llang|en|Dirac–Born–Infeld action}})이라고 부른다.<ref>{{서적 인용|doi=10.1017/CBO9780511606540|이름=Clifford Victor|성=Johnson|제목=D-Branes|출판사=Cambridge University Press|isbn=9780521809122|날짜=2006-11|언어=en}}</ref>{{rp|135, §5.3 The Dirac–Born–Infeld action}} 구체적으로, 그 작용은 다음과 같다.<ref name="Leigh">{{저널 인용 | 제목=Dirac–Born–Infeld action from Dirichlet σ-model | 이름=R. G. | 성=Leigh | 저널 = Modern Physics Letters A | volume=4 | issue=28| 연도=1989 | doi=10.1142/S0217732389003099 |언어=en}}</ref>
:<math>\mathcal{L}=-T_p\sqrt{-\det\left(\eta+2\pi\alpha'F\right)}</math>.
여기서 <math>T_p</math>는 D-막의 [[장력]](tension)이다. <math>F_{ab}</math>는 D-막의 게이지 장세기로, 전자기론에서의 [[패러데이 텐서]]에 해당한다. <math>\alpha'</math>는 [[레제 기울기]]로, 끈 이론에 등장하는 상수다.

만약 여기에 [[캘브-라몽 장]] <math>B_{ab}</math>와 [[딜라톤]] <math>\Phi</math>를 추가하고, 중력장을 (<math>\eta</math> 대신) 일반적으로 <math>G_{ab}</math>로 쓰면 다음과 같다.
:<math>\mathcal L= -T_pe^{-\Phi} \sqrt{ \det (G+ B+ 2\pi\alpha'F)}</math>.
따라서 D-막에 붙어 있는 열린 끈이 부피 공간({{llang|en|bulk}})의 배경이 되는 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장(중력장, 캘브-라몽 장, 딜라톤 장)과 직접 결합하게 된다.

디랙-보른-인펠트 작용은 제곱근 속에 있는 항(<math>G+B+2\pi\alpha'F)</math>)의 1차 도함수가 끈 길이 <math>\sqrt{\alpha'}</math>보다 매우 작을 때 믿을 수 있다. 즉, 게이지 장 <math>A_\mu</math> 및 스칼라 <math>\Phi</math>의 2차 도함수와 [[캘브-라몽 장]]의 1차 도함수가 끈 길이보다 매우 작아야 한다.

== 역사 ==
1930년대 초에 [[막스 보른]]은 전자기장의 세기가 발산할 수 없는, [[맥스웰 방정식]]의 변형을 찾으려고 노력하였다. 이에 따라 보른이 1933년에 최초로 제시한 라그랑지언은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|이름=Max|성=Born|저자링크=막스 보른|저널=Nature|쪽=282–282|제목=Modified field equations with a finite radius of the electron|날짜=1933-08-19|doi=10.1038/132282a0|권=132|호=3329|언어=en}}</ref>
:<math>L=\frac1{b^2}\sqrt{1-b^2(\mathbf E^2-\mathbf B^2)}</math>
같은 해에 보른과 [[레오폴트 인펠트]]는 이 항이 [[로런츠 불변]]이려면 제곱근 속에 <math>-b^{-4}\mathbf E\cdot\mathbf B</math>를 추가하여야 한다는 점을 지적하였다.<ref name="BI33">{{저널 인용|이름=Max|성=Born|저자링크=막스 보른|이름2=Leopold|성2=Infeld|저자링크2=레오폴트 인펠트|저널=Nature|권=132|호=3348|쪽=1004–1004|제목=Foundations of the new field theory|날짜=1933-12-30|doi=10.1038/1321004b0|언어=en}}</ref><ref name="BI">{{저널 인용|이름=Max|성=Born|저자링크=막스 보른|저자링크2=레오폴트 인펠트|이름2=Leopold|성2=Infeld|제목=Foundations of the new field theory|doi=10.1098/rspa.1934.0059|저널=Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences|날짜=1934-03-29|권=144|호=852|쪽=425–451|언어=en}}</ref>
보른과 인펠트는 이 이론을 도입하게 된 목표를 다음과 같이 두 가지로 제시하였다.
{{인용문2|<!--
-->최근 제시된 새 장 방정식들은 두 개의 원리로부터 각각 유도될 수 있다. 첫째 원리는 꽤 자명한 물리학 명제이며, 둘째 원리는 마찬가지로 자명한 수학적 공준이다.<br /><br /><!--

-->(1) […] 고전적 [맥스웰] 라그랑지언은 […] 무한히 큰 장세기를 야기한다. 그러나 경험에 따르면, '''유한 장 원리'''가 성립한다. 고전적 함수 [맥스웰 라그랑지언] <math>L</math>을 사용하면 무한한 [점입자] 자기 에너지와 다른 기타 물리량이 발생하지만, 이들은 사실 물론 유한해야 한다. […]<br /><br /><!--

-->(2) 같은 결과를 '''작용의 불변성'''으로부터 얻을 수 있다. […] 모든 텐서는 대칭 성분과 반대칭 성분으로 분해된다. […] 대칭 성분은 […] 계량 텐서로, 반대칭 성분은 […] 전자기 텐서로 여겨야 한다. 만약 작용이 […] 약한 장세기와 데카르트 좌표계에서 [맥스웰 작용]으로 수렴하게 하려면, 우리는 […] [위]의 경우와 같은 결과를 얻는다.<br /><br /><!--

-->{{lang|en|The new field equations proposed recently can be derived from either of two principles, the first being a rather obvious physical statement, the other an equally obvious mathematical postulate.<br /><br /><!--

-->(1) […] The classical [Maxwell] Lagrangian […] leads to infinitely large values for the strengths of the field. But experience leads to the ''principle of the finite field''. For the use of the classical function <math>L</math> gives infinite values of [point particle] self energy and other physical quantities which are, in fact, certainly finite. […]<br /><br /><!--

-->(2) The same result can be obtained by the mathematical postulate of the ''invariance of action''. […] [E]very tensor can be split up into a symmetrical and antisymmetrical part […] The symmetrical part […] should be identified with the metrical and [the antisymmetrical part] with the electromagnetic tensor. If we demand that the actions […] take the form of the [Maxwell action] in the case of small electromagnetic fields and cartesian co-ordinate systems, we obtain […] [an] expression […] entirely equivalent to the [above].}}|<ref name="BI33"/>}}
현대적인 관점에서, (1)번 문제는 [[양자 전기 역학]]의 도입을 통해 해결되었다. 그러나 (2)번 원리를 통한 유도는 [[끈 이론]]에서 [[D-막]]의 [[난부-고토 작용]]으로부터 자연스럽게 발생하게 된다.

이후 1980년대에 [[초끈 이론]]의 [[D-막]]이 [[초대칭]] 보른-인펠트 이론을 자연스럽게 갖는다는 사실이 발견되면서 보른-인펠트 이론은 재주목받게 되었다.<ref name="Leigh"/>{{rp|§3}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Dirac-Born-Infeld action}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:양자 전기역학]]