보렐 집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[측도론]]에서 '''보렐 집합'''(Borel集合, {{llang|en|Borel set}})은 [[열린집합]]들로부터 [[가산 집합|가산]] [[합집합]] · 가산 [[교집합]] · [[차집합]] 연산을 가산 번 반복하여 만들 수 있는 집합이다.<ref name="Srivastava"/>

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal U)</math>의 '''보렐 시그마 대수'''(Borelσ代數, {{llang|en|Borel sigma-algebra}}) <math>\mathcal B(X)</math> 또는 <math>\boldsymbol\Delta_1^1(X)</math>는 [[열린집합]]들의 집합 <math>\mathcal U</math>를 포함하는 최소의 [[시그마 대수]]이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|68, §11.A}}<ref name="Srivastava">{{서적 인용 | last=Srivastava| first=Shashi Mohan | title=A course on Borel sets | 날짜=1991 | publisher=Springer-Verlag | isbn=978-3-642-85475-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|doi=10.1007/978-3-642-85473-6|권=180|zbl=0903.28001|mr=1619545|언어=en}}</ref>{{rp|83, §3.1}}
(후자의 기호는 [[사영 위계]]의 표기법에서 유래한다.) <math>X</math>의 '''보렐 집합'''은 그 보렐 시그마 대수의 원소이다. 즉, [[열린집합]]으로부터 가산 번의 가산 합집합·가산 교집합·차집합 연산을 사용하여 정의할 수 있는 집합이다.

'''보렐 측도'''(Borel測度, {{llang|en|Borel measure}})는 보렐 시그마 대수에 대하여 정의되는 [[측도]]이다. 위상 공간 <math>X</math>의 '''보렐 가측 공간'''({{llang|en|Borel measurable space}})은 보렐 시그마 대수를 갖춘 [[가측 공간]]이다.

=== 보렐 위계 ===
만약 <math>(X,\mathcal U)</math>가 [[거리화 가능 공간]]일 경우, 보렐 시그마 대수 <math>\boldsymbol\Delta^1_1(X)</math>는 [[초한 귀납법]]을 사용하여, 구체적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

임의의 [[순서수]] <math>\alpha>0</math>에 대하여, 다음과 같은 '''보렐 위계'''(Borel位階, {{llang|en|Borel hierarchy}})를 정의하자.<ref name="Kechris"/>{{rp|68, §II.B}}
:<math>\boldsymbol\Sigma^0_1(X)=\mathcal U</math> (모든 [[열린집합]]들의 집합)
:<math>\boldsymbol\Pi^0_\alpha(X)=\{X\setminus S\colon S\in\boldsymbol\Sigma^0_\alpha\}</math>
:<math>\boldsymbol\Sigma^0_\alpha(X)=\left\{\bigcup_{i\in\mathbb N}X_i\colon
\forall i\in\mathbb N(X_i\in\boldsymbol\Pi^0_{\alpha_i}\land\alpha_i<\alpha)\right\}\qquad(\alpha>1)</math>
:<math>\boldsymbol\Delta^0_\alpha(X)=\boldsymbol\Sigma^0_\alpha(X)\cap\boldsymbol\Pi^0_\alpha(X)</math>
그렇다면 다음이 성립한다.
* <math>\bigcup_{\alpha<\omega_1}\boldsymbol\Sigma^0_\alpha=\bigcup_{\alpha<\omega_1}\boldsymbol\Pi^0_\alpha=\bigcup_{\alpha<\omega_1}\boldsymbol\Delta^0_\alpha=\boldsymbol\Delta^1_1(X)</math>
* 임의의 [[순서수]] <math>\alpha>0</math>에 대하여, <math>\boldsymbol\Sigma^0_\alpha(X)\cup\boldsymbol\Pi^0_\alpha(X)\subseteq\boldsymbol\Delta^0_{\alpha+1}(X)</math>

즉, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|69, §11.B}}
:<math>\begin{matrix}&&\boldsymbol\Sigma^0_1&&&&\boldsymbol\Sigma^0_2&&&\cdots\\
&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\searrow\\
\boldsymbol\Delta^0_1&&&&\boldsymbol\Delta^0_2&&&&\boldsymbol\Delta^0_3&\cdots\\
&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow\\
&&\boldsymbol\Pi^0_1&&&&\boldsymbol\Pi^0_2&&&\cdots
\end{matrix}</math>
여기서 <math>A\to B</math>는 <math>A\subseteq B</math>를 의미한다.

보렐 위계의 일부 단계의 원소들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.
{| class="wikitable
! 보렐 위계의 단계 !! 이름
|-
| <math>\boldsymbol\Delta^0_1</math> || '''[[열린닫힌집합]]'''들의 집합
|-
| <math>\boldsymbol\Sigma^0_1</math> || '''[[열린집합]]'''들의 집합
|-
| <math>\boldsymbol\Pi^0_1</math> || '''[[닫힌집합]]'''들의 집합
|-
| <math>\boldsymbol\Sigma^0_2</math> || '''F<sub>σ</sub> 집합'''(F<sub>σ</sub>集合, {{llang|en|F<sub>σ</sub> set}})들의 집합<ref name="Srivastava"/>{{rp|44, §2.1}}<ref name="Kechris"/>{{rp|1, §1.A}}
|-
| <math>\boldsymbol\Pi^0_2</math> || '''G<sub>δ</sub> 집합'''(G<sub>δ</sub>集合, {{llang|en|G<sub>δ</sub> set}})들의 집합<ref name="Srivastava"/>{{rp|44, §2.1}}<ref name="Kechris"/>{{rp|1, §1.A}}
|}

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X,Y</math> 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>는 (보렐 시그마 대수에 대하여) [[가측 함수]]이다. 즉, 보렐 집합 <math>S\subseteq Y</math>의 [[원상 (수학)|원상]] <math>f^{-1}(S)\subseteq X</math>은 보렐 집합이다. (반면, 만약 <math>X=Y=\mathbb R</math>일 경우, [[르베그 가측 집합]]의 [[연속 함수]]에 대한 원상은 일반적으로 [[르베그 가측 집합]]이 아니다.) 보렐 집합의 [[연속 함수]]에 대한 [[상 (수학)|상]]은 보렐 집합이 아닐 수 있다. 만약 <math>X</math>와 <math>Y</math>가 [[폴란드 공간]]이라면, 보렐 집합의 상은 [[해석적 집합]]이다.

다음이 성립한다.<ref name="Srivastava"/>{{rp|116}}
{| class=wikitable style="text-align: center"
! 집합족 || 유한 [[교집합]]에 대해 닫힘 || 가산 [[교집합]]에 대해 닫힘 || 유한 [[합집합]]에 대해 닫힘 || 가산 [[합집합]]에 대해 닫힘 || [[여집합]]에 대해 닫힘 || 연속 함수에 대한 [[상 (수학)|상]] || [[보렐 가측 함수]]에 대한 [[원상 (수학)|원상]]
|-
! <math>\boldsymbol\Delta^0_\alpha</math>
| ⭕ || ❌ || ⭕ || ❌ || ⭕ || ❌ || ❌
|-
! <math>\boldsymbol\Sigma^0_\alpha</math>
| ⭕ || ❌ || ⭕ || ⭕ || ❌ || ❌ || ❌
|-
! <math>\boldsymbol\Pi^0_\alpha</math>
| ⭕ || ⭕ || ⭕ || ❌ || ❌ || ❌ || ❌
|-
! <math>\boldsymbol\Delta^1_1</math>
| ⭕ || ⭕ || ⭕ || ⭕ || ⭕ || ❌ || ⭕
|}

=== 보렐 집합의 수 ===
[[폴란드 공간]] <math>X</math>의 보렐 집합의 수는 다음과 같다.
:<math>|\boldsymbol\Delta^1_1(X)|=
2^{\min\{|X|,\aleph_0\}}
</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
가산 폴란드 공간은 [[이산 공간]]이므로 자명하다. 따라서, <math>X</math>가 비가산 폴란드 공간(즉, <math>\mathbb R</math>)라고 하자.

보렐 시그마 대수의 [[초한 귀납법]] 작도를 생각하자. 이 경우 <math>|\boldsymbol\Sigma^0_1(\mathbb R)|=2^{\aleph_0}</math>이며, [[초한 귀납법]]의 각 단계에서
:<math>(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}</math>
이므로 [[집합의 크기]]는 <math>2^{\aleph_0}</math>을 초과하지 않는다.
</div></div>

반면, 실수의 [[르베그 가측 집합]]의 수는
:<math>|\mathcal L(\mathbb R)|=2^{2^{\aleph_0}}</math>
이다. 이는 크기가 <math>2^{\aleph_0}</math>이며 측도가 0인 보렐 집합(예를 들어, [[칸토어 집합]])이 존재하며, 측도가 0인 보렐 집합의 모든 [[부분 집합]]은 [[르베그 가측 집합]]이기 때문이다.

=== 분리 정리 ===
'''[[루진-노비코프 분리 정리]]'''에 따르면, 임의의 [[폴란드 공간]] <math>X</math> 속의 가산 개의 [[해석적 집합]]들의 집합족 <math>\{A_i\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Sigma^1_1(X)</math>, <math>|I|\le\aleph_0</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}A_i=\varnothing</math>이라면, <math>\forall i\in I\colon B_i\supseteq A_i</math>이자 <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}B_i=\varnothing</math>인 보렐 집합들의 집합족 <math>\{B_i\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Delta^1_1(X)</math>이 존재한다.<ref name="Kechris">{{서적 인용|이름=Alexander Sotirios|성=Kechris|제목=Classical descriptive set theory|출판사=Springer-Verlag|날짜=1995|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-1-4612-4190-4|isbn=978-1-4612-8692-9|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=156|zbl=0819.04002|mr=1321597|언어=en}}</ref>{{rp|219, Theorem 28.5}}<ref name="Srivastava"/>{{rp|155, Theorem 4.6.1}}

=== 베르 범주와의 관계 ===
임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 임의의 [[제1 범주 집합]] <math>M\subseteq X</math>에 대하여, <math>M\subseteq\tilde M\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X)</math>인 [[제1 범주 집합]] <math>\tilde M</math>이 존재한다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
정의에 따라, <math>M</math>은 [[가산 집합|가산]] 개의 [[조밀한 곳이 없는 집합]] <math>\{M_i\}_{i\in\mathbb N}</math>들의 [[합집합]]으로 나타낼 수 있다.
:<math>M=\bigcup_{i\in\mathbb N}M_i</math>
[[조밀한 곳이 없는 집합]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 (자명하게) [[조밀한 곳이 없는 집합]]이므로,
:<math>\tilde M=\bigcup_{i\in\mathbb N}\operatorname{cl}(M_i)</math>
로 놓으면 자명하게 <math>M\in\tilde M\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X)</math>이다.
</div></div>
[[준열린집합]]들의 집합족 <math>\operatorname{BP}(X)</math>은 [[열린집합]]과 [[제1 범주 집합]]을 포함하는 최소의 [[시그마 대수]]이므로,<ref name="Kechris"/>{{rp|47, Proposition 8.32}} 모든 보렐 집합은 [[준열린집합]]이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|71, Proposition 11.5}}
:<math>\boldsymbol\Delta^1_1(X)\subseteq\operatorname{BP}(X)</math>

== 예 ==
수학에 등장하는 대부분의 집합은 보렐 집합이다. 예를 들어, 실수 집합 <math>\mathbb R</math> 속의 다음과 같은 부분 집합들의 보렐 위계에서의 위치는 다음과 같다.
* [[공집합]] <math>\varnothing</math>: <math>\boldsymbol\Delta^0_1(\mathbb R)</math>
* [[실수]] 집합 <math>\mathbb R</math>: <math>\boldsymbol\Delta^0_1(\mathbb R)</math>
* 양의 실수 집합 <math>\mathbb R^+</math>: <math>\boldsymbol\Sigma^0_1(\mathbb R)</math>
* 음이 아닌 실수 집합 <math>\mathbb R_{\ge0}</math>: <math>\boldsymbol\Pi^0_1(\mathbb R)</math>
* [[정수]] 집합 <math>\mathbb Z</math>: <math>\boldsymbol\Pi^0_1(\mathbb R)</math>
* [[유리수]] 집합 <math>\mathbb Q</math>: <math>\boldsymbol\Sigma^0_2(\mathbb R)</math>
* [[무리수]] 집합 <math>\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>: <math>\boldsymbol\Pi^0_2(\mathbb R)</math>

=== F<sub>σ</sub> 집합이 아닌 열린집합 ===
[[거리화 가능 공간]]의 모든 열린집합은 F<sub>σ</sub> 집합이다. 그러나 이는 일반적인 위상 공간에서는 성립하지 않는다. 최소 [[비가산]] [[순서수]] <math>\omega_1</math>은 [[순서 위상]]을 부여하면 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 이룬다. <math>U</math>가 <math>\omega_1</math>의 [[고립점]]들의 집합이라고 하자. 그렇다면 <math>U</math>는 [[열린집합]]이며 [[비가산 집합]]이다. 반면 <math>\omega_1</math>은 [[가산 콤팩트 공간]]이므로, [[닫힌집합]]은 [[유한 집합]]과 [[동치]]이며, 따라서 <math>U</math>는 F<sub>σ</sub> 집합이 아니다.<ref>{{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/questions/290114/why-is-each-open-set-an-f-sigma|제목=Why is each open set an Fσ?|언어=en|웹사이트=Mathematics Stack Exchange|확인날짜=2019-12-04|보존url=https://web.archive.org/web/20191204204209/https://math.stackexchange.com/questions/290114/why-is-each-open-set-an-f-sigma|보존날짜=2019-12-04|url-status=dead}}</ref>

=== 보렐 집합이 아닌 집합 ===
실수선 <math>\mathbb R</math>에서 존재하는, 보렐 집합이 아닌 집합의 예로는 다음을 들 수 있다. (반면, [[르베그 가측 집합]]이 아닌 집합의 존재는 [[선택 공리]]를 필요로 하므로, 구체적인 예를 들 수 없다.)

집합 <math>A\subseteq\mathbb R</math>가 다음 조건을 만족시키는 [[무리수]]들의 집합이라고 하자.
* <math>a\in A</math>의 연분수 표현{{mindent|<math>a = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}</math>}}의 계수 <math>a_i</math> 가운데, <math>a_{k_i}\mid a_{k_{i+1}}</math>인 부분 수열 <math>a_{k_0},a_{k_1},\ldots</math>이 존재한다.
그렇다면 <math>A</math>는 보렐 집합이 아닌 [[해석적 집합]]이다.

== 역사 ==
보렐 집합의 개념은 [[에밀 보렐]]이 1905년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=Émile|성=Borel|저자링크=에밀 보렐|제목=Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en séries de polynomes, professées a l’École normale supérieure|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|출판사=Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire|날짜=1905|url=https://archive.org/details/leonssurlesf00bore|총서=Collection de monographies sur la théorie des fonctions, publiée sur la direction de M. Émile Borel|jfm=36.0435.01|언어=fr}}</ref><ref name="Srivastava"/>{{rp|xi}}<ref>{{서적 인용 | last=Jech | first=Thomas | title=Set theory | url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4 | publisher= Springer-Verlag | series=Springer Monographs in Mathematics | 날짜=2003 | doi=10.1007/3-540-44761-X | issn= 1439-7382 | 판 = 3 | isbn= 978-3-540-44085-7 | zbl = 1007.03002 | 언어=en | id={{iaid|settheory0000jech_f7i4}}}}</ref>{{rp|153, §11}}

"F<sub>σ</sub> 집합"이라는 용어에서, F는 {{llang|fr|[[wikt:fermé|fermé]]|페르메}}([[닫힌집합]])의 머리글자이며, σ는 {{llang|fr|[[wikt:somme|somme]]|솜}}([[합집합]])의 머리글자에 해당하는 [[그리스 문자]]이다.<ref name="SS">{{서적 인용|title=Real analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces|first1=Elias M.|last1=Stein|first2=Rami|last2=Shakarchi|publisher=Princeton University Press|날짜=2005|isbn=978-069111386-9|url=http://press.princeton.edu/titles/8008.html|zbl=1081.28001|총서=Princeton Lectures in Analysis|권=3|언어=en}}</ref>{{rp|23, §1.3}} 마찬가지로, "G<sub>δ</sub> 집합"이라는 용어에서, G는 {{llang|de|[[wikt:Gebiet|Gebiet]]|게비트}}([[근방]])의 머리글자이며, δ는 {{llang|de|[[wikt:Durchschnitt|Durschnitt]]|두르슈니트}}([[교집합]])의 머리글자에 해당하는 [[그리스 문자]]이다.<ref name="SS"/>{{rp|23, §1.3}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Borel set}}
* {{eom|title=Borel field of sets}}
* {{eom|title=Borel set, criterion for a}}
* {{eom|title=Borel function}}
* {{eom|title=Borel measure}}
* {{eom|title=Suslin theorem}}
* {{eom|title=Separability of sets}}
* {{eom|title=Luzin separability principles}}
* {{매스월드|id=BorelSet|title=Borel set}}
* {{매스월드|id=BorelSigma-Algebra|title=Borel sigma-algebra}}
* {{매스월드|id=BorelMeasure|title=Borel measure}}
* {{매스월드|id=BorelHierarchy|title=Borel hierarchy}}
* {{매스월드|id=F-SigmaSet|title=F_sigma set}}
* {{매스월드|id=G-DeltaSet|title=G_delta set}}
* {{nlab|id=Borel subset}}
* {{nlab|id=G-delta subspace}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Borel_Sigma-Algebra|제목=Definition: Borel sigma-algebra}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:F-Sigma_Set|제목=Definition: F-sigma set}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:G-Delta_Set|제목=Definition: G-delta set}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/87838/is-every-sigma-algebra-the-borel-algebra-of-a-topology|제목=Is every sigma-algebra the Borel algebra of a topology?|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[기술적 집합론]]
* [[해석적 집합]]
* [[사영 집합]]

[[분류:위상수학]]
[[분류:집합론]]
[[분류:기술적 집합론]]