변형 함자 문서 원본 보기

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수학에서, '''변형 함자'''(變形函子, {{llang|en|deformation functor}})는 어떤 수학적 대상의 변형을 나타내는 [[함자 (수학)|함자]]이다. 이러한 함자의 연구를 '''변형 이론'''(變形理論, {{llang|en|deformation theory}})이라고 한다. 변형 함자의 정의역 범주의 원소는 [[국소환|국소]] [[아르틴 가환환]]인데, 이는 어떤 점의 ‘무한소 근방’으로 해석할 수 있다. 변형 함자 <math>F</math>의, 어떤 아르틴 가환환 <math>A</math>에 대한 값 <math>F(A)</math>는 다루고자 하는 대상의, <math>A</math> 위의 가능한 변형들의 집합이다. 쌍대적으로, 이는 이러한 국소 아르틴 [[아핀 스킴]]들의 범주 위의 [[준층]]으로 여길 수 있다. 일부 경우, 이 [[준층]]은 어떤 [[스킴 (수학)|스킴]]으로 표현될 수 있다. 그러나 일반적으로는 이러한 모듈러스 스킴이 존재하지 않을 수 있다.

== 정의 ==
=== 국소 아르틴 가환환의 범주 ===
[[체 (수학)|체]] <math>k</math> 위의 대수이며, [[자명환]]이 아닌 [[아르틴 가환환|아르틴]] [[국소환]] <math>(A,\mathfrak m)</math>이 주어졌다고 하자. 이는 [[벡터 공간]]으로서 유한 차원이며, 이러한 환의 (유일한) [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>의 모든 원소는 [[멱영원]]이다. 특히, 이러한 환 <math>A</math>는 항상 [[완비 국소환]]이다. 이러한 가환환은 항상 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.
:<math>A = k[x_1,x_2,\dotsc,x_m] / (x_1^{n_1},x_2^{n_2},\dotsc,x_m^{n_m},p_1,p_2,\dotsc,p_r)</math>
:<math>p_1,\dotsc,p_r \in k[x_1,\dotsc,x_m]</math>
:<math>p_i(0,0,\dotsc,0) = 0\in k\qquad\forall i\in\{1,\dotsc,r\}</math>
:<math>\mathfrak m = (x_1,x_2,\dotsc,x_m) \subsetneq A</math>

또한, <math>A</math>의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}A</math>은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서 [[한원소 공간]]이다. 예를 들어, 체 <math>k</math>가 주어졌을 때 <math>k[x]/(x^2)</math>는 이러한 꼴의 가환환이며, [[극대 아이디얼]]은 <math>\mathfrak m = (x)</math>이다.

[[체 (수학)|체]] <math>k</math>에 대하여, 범주 <math>\operatorname{LocArt}(k)</math>를 다음과 같이 정의하자.
* <math>\operatorname{LocArt}_k</math>의 대상 <math>i\colon k\to A</math>은 <math>k</math>를 [[정의역]]으로, 어떤 [[국소환|국소]] [[아르틴 가환환]] <math>(A,\mathfrak m)</math>을 [[공역]]으로 하는 [[환 준동형]] 가운데, <math>k \to A \to A/\mathfrak m</math>가 환의 [[동형 사상]]을 이루는 것이다.
* <math>\operatorname{LocArt}_k</math>의 사상 <math>(A,\mathfrak m_A,i_A) \to (B,\mathfrak m_B,i_B)</math>은 구조 사상과 호환되는 [[환 준동형]] <math>f\colon A \to B</math>이다. 즉, <math>f \circ i_A = i_B</math>이어야 한다.

이 [[범주 (수학)|범주]]에서, <math>(k,\mathfrak m_k = (0), \operatorname{id}_k)</math>는 [[영 대상]]을 이룬다. 이 범주에서, 두 대상 <math>A</math>, <math>B</math>의 [[곱 (범주론)|곱]] <math>A\times_{\operatorname{LocArt}(k)} B</math>는 [[곱집합]]과 다르며, 구체적으로
:<math>
(A,\mathfrak m_A,i_A) \times_{\operatorname{LocArt}(k)} (B,\mathfrak m_B,i_B) 
= 
\{(a,b) \in A \times_{\operatorname{Set}}B \colon i_A^{-1}(a + \mathfrak m_A) = i_B^{-1} (b + \mathfrak m_B) \}
</math>
이다. (여기서 <math>\times_{\operatorname{Set}}</math>은 [[곱집합]]을 뜻한다.) 이 위의 [[가환환]] 구조는 [[가환환]]의 [[직접곱]] <math>A \times_{\operatorname{CRing}} B</math>의 [[부분환]]으로서 주어진다.

보다 일반적으로, 세 대상 <math>A, B, C</math> 및 사상 <math>A \xrightarrow fC \xleftarrow g B</math>이 주어졌을 때, [[올곱]]
:<math> A\times_CB = \{(a,b) \in A\times_{\operatorname{Set}} B \colon f(a) = g(b) \}</math>
이 존재한다.<ref name="Schlessinger"/>{{rp|209}}

이 범주에서, 대상 <math>A = k[x]/(x^2)</math>을 생각하자. 이 경우,
:<math>A \times A \cong k[x,y]/(x^2,y^2,xy)</math>
이다. 표준적인 [[환 준동형]]
:<math>A \times A \to A</math>
:<math>(a+bx+cy) \mapsto (a+(b+c)x)</math>
을 통해, 이는 [[군 대상]]을 이루며, 이는 아벨 군 대상이다.

=== 작은 농화 ===
두 국소 아르틴 가환환
:<math>(A,\mathfrak m)</math>
<math>(A',\mathfrak m')</math>
사이의 [[환 준동형]]
:<math>f\colon A\to A'</math>
이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, '''작은 농화'''(-濃化, {{llang|en|small thickening}})라고 한다.
* [[전사 함수]]이다.
* <math>\ker f</math>는 <math>A'</math>의 [[주 아이디얼]]이다.
* <math>(\ker f)\mathfrak m' = 0</math>이다.
이에 따라, <math>\ker f</math>는 1차원 <math>A/\mathfrak m</math>-[[벡터 공간]]이다. 예를 들어, 체 <math>k</math> 및 양의 정수 <math>n</math>에 대하여
:<math>k[x]/(x^{n+1}) \to k[x]/(x^n)</math>
은 작은 농화이다.

두 국소 아르틴 가환환 사이의 모든 [[전사 함수|전사]] [[환 준동형]]은 (유한 개의) 작은 농화들의 합성으로 표현될 수 있다.

=== 변형 함자 ===
[[체 (수학)|체]] <math>k</math>가 주어졌을 때, <math>\operatorname{LocArt}(k)</math>에서 [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>로 가는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>F \colon \operatorname{LocArt}(k) \to \operatorname{Set}</math>
가 주어졌다고 하자.

그렇다면, <math>\operatorname{LocArt}(k)</math> 속의 두 [[환 준동형]] <math>B \to A \leftarrow C</math>에 대하여, [[올곱]]의 [[보편 성질]]에 의하여 [[함수]]
:<math>g\colon F(B \times_A C) \to F(B) \times_{F(A)} F(C)</math>
가 표준적으로 존재한다.

이에 대하여, 다음과 같은 조건들을 가할 수 있다.
* (H0) [[집합]] <math>F(k)</math>는 [[한원소 집합]]이다.
** 여기서 <math>F(k)</math>의 유일한 원소는 변형하고픈 대상을 뜻한다.
* (H1) 만약 <math>C \to A</math>가 작은 농화라면, <math>g</math>가 [[전사 함수]]이다.
* (H2) 만약 <math>A = k</math>이며, <math>C = k[x]/(x^2)</math>라면, <math>g</math>가 [[전단사 함수]]이다.
* (H4) 만약 <math>C\to A</math>가 작은 농화이며 <math>B\to A</math>가 [[동형 사상]]이라면, <math>g</math>가 [[전단사 함수]]이다.
(H0), (H1), (H2) 조건들을 만족시키는 함자 <math>F</math>를 '''변형 함자'''라고 한다. (만약 H0이 성립한다면, 이를 '''준변형 함자''' {{llang|en|pre-deformation functor}}라고 한다.)

== 성질 ==
=== 접공간 ===
변형 함자 <math>F</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[집합]] <math>F(k[x]/(x^2))</math>를 생각하자. 이 위에, 다음과 같은 <math>k</math>-[[벡터 공간]] 구조를 정의할 수 있다.
:<math>\alpha v = F(\sigma_\alpha) v \qquad\forall \alpha\in k,\;v \in F(k[x]/(x^2))</math>
:<math>v + w = F(\mu)g^{-1}(v,w)</math>
여기서
:<math>\sigma_\alpha \colon k[x]/(x^2) \to k[x]/(x^2)</math>
:<math>\sigma_\alpha \colon x \mapsto \alpha x</math>
는 국소 아르틴 가환환의 [[자기 사상]]이며,
:<math>g \colon F(k[x]/(x^2) \times k[x]/(x^2)) \to F(k[x]/(x^2)) \times F(k[x]/(x^2))</math>
는 (H2) 공리에 따라 존재하는 [[전단사 함수]]이며,
:<math>\mu\colon k[x]/(x^2) \times k[x]/(x^2) \to k[x]/(x^2)</math>
는 <math>k[x]/(x^2)</math> 위의 [[군 대상]] 구조이다.

이 경우, [[벡터 공간]] <math>F(k[x]/(x^2))</math>를 변형 함자 <math>F</math>의 '''접공간'''(接空間, {{llang|en|tangent space}})이라고 한다.

=== 표현 가능성 ===
변형 함자 <math>F \colon \operatorname{LocArt}(k) \to \operatorname{Set}</math>가 주어졌다고 하자. <math>\operatorname{ComplLocNoeth}(k)</math>가 <math>k</math>-대수 가운데, [[완비 국소환]]이며 [[뇌터 가환환]]인 것들의 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 완비 국소 뇌터 <math>k</math>-대수 <math>(A,\mathfrak m)</math>에 대하여, 다음을 정의할 수 있다.
:<math>\hat F(A) = \varprojlim_{n\to\infty} F(A / \mathfrak m^n)</math>
여기서 유한한 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>A/\mathfrak m^n</math>이 국소 아르틴 가환환이므로, 우변은 잘 정의된다. 이는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\hat F \colon \operatorname{ComplLocNoeth}(k) \to \operatorname{Set}</math>
를 정의한다.

이 경우, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\hat F</math>가 [[표현 가능 함자]]이다.
* (H4)가 성립하며, 접공간이 유한 차원 <math>k</math>-[[벡터 공간]]이다.

== 예 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>k</math> 위의 [[매끄러운 스킴|매끄러운]] [[대수다양체]] <math>X_0</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 데이터를 생각하자.
* 국소 아르틴 <math>k</math>-대수 <math>A</math>
* 스킴 <math>X_A</math>
* [[평탄 사상]] <math>X_A \to \operatorname{Spec}A</math>
* [[스킴 사상]] <math>X_0 \to X</math>
이 데이터에 대하여, 다음 조건들을 생각하자.
* 다음 네모가 가환 그림을 이룬다.
*: <math>\begin{matrix}
X_0 & \to &X_A \\
\downarrow && \downarrow \\
\operatorname{Spec}k & \to & \operatorname{Spec}A\end{matrix}</math>
* 이 네모로부터, [[올곱]]의 [[보편 성질]]로 정의되는 사상 <math>X_0 \to X_A \times_{\operatorname{Spec}A}\operatorname{Spec} k</math>는 스킴의 [[동형 사상]]이다. (다시 말해, ‘원점’에서 — 아무런 변형을 가하지 않았을 때 — 값은 원래 대수다양체 <math>X_0</math>이다.)
그렇다면, <math>F(A)</math>가 위 조건을 만족시키는 모든 데이터들의 [[집합]]이라고 하자. 이 경우, <math>F</math>는 변형 함자를 이룬다. 이 변형 함자의 접공간은
:<math>\operatorname H^1(X_0,\mathrm TX_0)</math>
이다.

== 역사 ==
변형 함자의 개념은 1968년에 존 마이클 슐레싱어({{llang|en|John Michael Schlessinger}})가 도입하였다.<ref name="Schlessinger">{{저널 인용|이름=Michael | 성= Schlessinger | 제목= Functors of Artin rings | 저널= Transactions of the American Mathematical Society | 권=130 | 날짜=1968 | 쪽=208–222 | doi=10.1090/S0002-9947-1968-0217093-3  | mr = 217093 |jstor = 994967 | issn=0002-9947 | 언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Deformation}}
* {{nlab|id=deformation functor|title=Deformation functor}}
* {{nlab|id=deformation theory|title=Deformation theory}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2012/05/10/galois-deformations-1-schlessinger/|제목=Galois Deformations 1: Schlessinger|날짜=2012-05-10|이름=Matt|성=Ward|언어=en|확인날짜=2018-09-27|보존url=https://web.archive.org/web/20180927085852/https://hilbertthm90.wordpress.com/2012/05/10/galois-deformations-1-schlessinger/|보존날짜=2018-09-27|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url= https://www.math.ucdavis.edu/~osserman/classes/256A/notes/deform.pdf | 제목=A glimpse of deformation theory | 이름=Brian | 성=Osserman | 언어= en }}
* {{웹 인용|url= https://www.math.ucdavis.edu/~osserman/math/columbia.pdf | 제목= Beyond Schlessinger: deformation stacks | 이름=Brian | 성=Osserman | 언어= en }}
* {{웹 인용|url= https://math.berkeley.edu/~robin/math274root.pdf | 이름=Robin | 성=Hartshorne | 제목=Lectures on deformation theory | 날짜=2004 |언어=en}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:대수기하학 정리]]