변분 원리 문서 원본 보기

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[[양자역학]]에서 '''변분 원리'''(變分原理, {{lang|en|variational principle}})는 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]의 [[바닥 상태]] 에너지를 근사하는 계산법이다. [[양자역학]]과 [[물리화학]]에서 쓰인다. [[하트리-폭]] 방법이 한 예이다.

== 정의 ==
해밀토니언 <math>H</math>의 바닥 상태 <math>|0\rangle</math>는 그 에너지 [[기댓값]]이 최소가 되는 상태다. 즉, 다음 표현의 최솟값이다.
:<math>E(|\psi\rangle)=\langle\psi|H|\psi\rangle</math>.
따라서, 바닥 상태의 에너지 <math>E(|0\rangle)=E_0</math>은 임의의 상태의 에너지 기댓값보다 같거나 작다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
:<math>E_0\le\langle\psi|H|\psi\rangle</math> (임의의 <math>|\psi\rangle</math>에 대하여)

'''변분 원리'''를 통해 바닥 상태의 에너지 <math>E_0</math>을 찾으려면, 우선 바닥 상태가 될 만한 '''시험 파동함수'''({{lang|en|trial wave function}}) <math>|\psi\rangle</math>를 어림짐작으로 고른다. 그렇다면 이 상태의 에너지 기댓값을 계산하여 바닥 상태의 상계(上界, {{lang|en|upper bound}})를 얻을 수 있다.

보통 시험 파동함수에는 몇 개의 매개변수를 둔다. 예를 들어, 매개변수 <math>\lambda</math>를 둔 시험 파동함수 <math>|\psi(\lambda)\rangle</math>를 생각해 보자. 그렇다면 <math>E(\lambda)=\langle\psi(\lambda)|H|\psi(\lambda)\rangle</math>를 최소화시키는 값 <math>\lambda_{\text{min}}</math>을
:<math>\left.\frac{dE}{d\lambda}\right|_{\lambda=\lambda_{\text{min}}}=0</math>
을 풀어 구할 수 있다. 그렇다면 <math>|\psi(\lambda_{\text{min}})\rangle</math>을 바닥 상태의 근사값으로, <math>E(\lambda_\text{min})</math>을 바닥 에너지의 근사값으로 취한다. 두 개 이상의 매개변수를 가진 시험 파동함수도 마찬가지로 다룰 수 있다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Sakurai|이름=Jun John|연도=1994|제목=Modern Quantum Mechanics|출판사=Addison-Wesley|ISBN=0-201-53929-2|언어=영어}}

{{전거 통제}}

[[분류:양자역학]]
[[분류:이론화학]]
[[분류:양자화학]]
[[분류:계산물리학]]