벨 다항식 문서 원본 보기

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'''벨 다항식'''({{llang|en|Bell polynomial}})은 [[조합론]]에서 [[에릭 템플 벨]](Eric Temple Bell)의 이름을 따서 명명된 다항식이다. 또한 벨(Bell) 다항식은 [[집합의 분할|집합 분할]] 연구에 사용된다. 이것은 [[스털링 수]] 및 [[벨 수]]와 관련이 있다. 그리고 이것들은 또한 [[파 디 브루노]](Faà di Bruno)의 [[브루노 공식]]과 같은 많은 응용에서 언급된다.

== 벨다항식 생성함수 ==

:<math> B_{n}(x) = B_{n}(x_1, \ldots, x_{n}) =exp({-x}) \sum_{k=0}^{\infty} {{k^n x^k}\over{k!}}</math>

:<math>\;\;\; =x \sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1} B_{k-1}(x)</math>

== 초기 벨 다항식 ==

:<math>
\begin{align}
B_0 = {} & 1 \\[8pt]
B_1(x_1) = {} & x_1 \\[8pt]
B_2(x_1,x_2) = {} & x_1^2 + x_2 \\[8pt]
B_3(x_1,x_2,x_3) = {} & x_1^3 + 3x_1 x_2 + x_3 \\[8pt]
B_4(x_1,x_2,x_3,x_4) = {} & x_1^4 + 6 x_1^2 x_2 + 4 x_1 x_3 + 3 x_2^2 + x_4 \\[8pt]
B_5(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = {} & x_1^5 + 10 x_2 x_1^3 + 15 x_2^2 x_1 + 10 x_3 x_1^2 + 10 x_3 x_2 + 5 x_4 x_1 + x_5 \\[8pt]
B_6(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6) = {} & x_1^6 + 15 x_2 x_1^4 + 20 x_3 x_1^3 + 45 x_2^2 x_1^2 + 15 x_2^3 + 60 x_3 x_2 x_1 \\
& {} + 15 x_4 x_1^2 + 10 x_3^2 + 15 x_4 x_2 + 6 x_5 x_1 + x_6 \\[8pt]
B_7(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7) = {} & x_1^7 + 21 x_1^5 x_2 + 35 x_1^4 x_3 + 105 x_1^3 x_2^2 + 35 x_1^3 x_4 \\
& {} + 210 x_1^2 x_2 x_3 + 105 x_1 x_2^3 + 21 x_1^2 x_5 + 105 x_1 x_2 x_4 \\
& {} + 70 x_1 x_3^2 + 105 x_2^2 x_3 + 7 x_1 x_6 + 21 x_2 x_5 + 35 x_3 x_4 + x_7  \\
\vdots
\end{align}
</math>

== 미분 표현 ==
벨 다항식은 또한 다음과 같은 [[미분]]으로 표현가능하다.<ref>(Alexeev, Pologova & Alekseyev 2017, sect. 4.2.)Alexeev, N.; Pologova, A.; Alekseyev, M. A. (2017). "Generalized Hultman Numbers and Cycle Structures of Breakpoint Graphs". Journal of Computational Biology. 24 (2): 93–105. [https://arxiv.org/abs/1503.05285 arXiv:1503.05285] Freely accessible. [https://www.liebertpub.com/doi/10.1089/cmb.2016.0190 doi:10.1089/cmb.2016.0190]</ref>
: <math>
\begin{align}
B_n(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=2}^n \right. & \sum_{j=1}^{i-1} (i-1) \binom{i-2}{j-1} x_j x_{i-j}\frac{\partial B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}} \\[5pt]
& \left. {} + \sum_{i=2}^n \sum_{j=1}^{i-1} \frac{x_{i+1}}{\binom i j} \frac{\partial^2 B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_j \partial x_{i-j}} \right. \\[5pt]
& \left. {} + \sum_{i=2}^n x_i \frac{\partial B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}} \right)
\end{align}
</math>

== 행렬 표현 ==
완전한 종 다항식 B<sub>n</sub> 은 부분 종 다항식 B<sub>n,k</sub> 의 합으로 표현 할 수 있습니다.
:<math>B_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math>
완전한 종 다항식을 행렬식으로 표현 할 수 있습니다.
:<math>B_n(x_1,\dots,x_n) = \det\begin{bmatrix}x_1 & {n-1 \choose 1} x_2 & {n-1 \choose 2}x_3 & {n-1 \choose 3} x_4 & {n-1 \choose 4} x_5 & \cdots & \cdots & x_n \\  \\
-1 & x_1 & {n-2 \choose 1} x_2 & {n-2 \choose 2} x_3 & {n-2 \choose 3} x_4 & \cdots & \cdots & x_{n-1} \\  \\
0 & -1 & x_1 & {n-3 \choose 1} x_2 & {n-3 \choose 2} x_3 & \cdots & \cdots & x_{n-2} \\  \\
0 & 0 & -1 & x_1 & {n-4 \choose 1} x_2 & \cdots  & \cdots & x_{n-3} \\  \\
0 & 0 & 0 & -1 & x_1 & \cdots & \cdots & x_{n-4} \\  \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & \cdots & \cdots & x_{n-5} \\  \\
\vdots & \vdots & \vdots &  \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots  \\  \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x_1  \end{bmatrix}</math>

== 같이 보기 ==
* [[이항 정리]]
* [[베르누이 수]]
* [[케일리-헤밀턴 정리]]

== 참고 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/BellPolynomial.html 매스월드]
* [http://mathworld.wolfram.com/FaadiBrunosFormula.html 매스월드]
* [http://oeis.org/A178867 OEIS]
* [http://oeis.org/A125811 OEIS]
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Bell_polynomial EOM]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:다항식]]
[[분류:열거조합론]]