벡터 다발 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[위상수학]] 및 [[미분기하학]]에서 '''벡터 다발'''({{llang|en|vector bundle}})은 올에 [[위상 벡터 공간]]의 구조가 주어진 [[올다발]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=벡터 속 이론|저자=양재현|출판사=민음사|날짜=1989-01-01|isbn=89-374-3560-8|url=http://minumsa.minumsa.com/book/958/|언어=ko}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Vector bundles and their applications|이름=Glenys|성=Luke|이름2=Alexander S.|성2=Mishchenko|출판사=Kluwer|총서=Mathematics and its Applications|권=447|날짜=1998|doi=10.1007/978-1-4757-6923-4|isbn=978-1-4419-4802-1 |mr=1640104|언어=en}}</ref><ref>
{{서적 인용|이름=А. С.|성=Мищенко|제목=Векторные расслоения и их применения |출판사=Наука|위치=[[모스크바]]|날짜=1984|언어=ru}}</ref>

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>
* [[위상환]] <math>K</math>
* <math>K</math> 위의 [[위상 왼쪽 가군]] <math>_KV</math>
* [[올다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow X</math>
* 각 <math>x\in X</math>에 대하여, 올 <math>E_x=\pi^{-1}(x)</math> 위의 <math>K</math>-[[위상 왼쪽 가군]] 구조
만약 <math>X</math>가 다음과 같은 호환 조건을 만족시키는 [[열린 덮개]] <math>(U_i)_{i\in I}</math> 및 [[위상 동형 사상]]들의 족
:<math>\left(\phi_i\colon U\times V\to\pi^{-1}(U)\right)_{i\in I}</math>
를 가질 수 있다면, 올다발 <math>(X,E,\pi)</math>를 올 <math>V</math>의 '''왼쪽 가군 다발'''(-加群-, {{llang|en|left module bundle}})이라 한다.
:임의의 <math>i\in I</math> 및 <math>x\in U_i</math>에 대하여 <math>\phi_i(x,-)\colon v\mapsto\phi_i(x,v)</math>는 <math>V</math>와 올 <math>E_x</math> 사이의 <math>K</math>-[[위상 왼쪽 가군]] 동형을 정의한다.
위와 같은 구조 <math>(U_i,\phi_i)_{i\in I}</math>를 <math>E</math>의 '''국소 자명화'''(局所自明化, {{llang|en|local trivialization}})라고 한다.
그러나 국소 자명화의 구조는 벡터 다발을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다.

마찬가지로 '''오른쪽 가군 다발'''(-加群-, {{llang|en|right module bundle}})을 정의할 수 있다. 만약 <math>K</math>가 [[가환환|가환]] [[위상환]]이라면 왼쪽·오른쪽을 구별하지 않아도 된다.

만약 [[위상환]] <math>K</math>가 [[위상체]]일 경우, 이에 대한 가군 다발은 '''벡터 다발'''이라 한다.

만약 <math>K</math>가 [[위상체]]이며 <math>V=K</math>일 경우, 올이 <math>K</math>인 벡터 다발을 '''선다발'''(線다발, {{llang|en|line bundle}})이라고 한다.

만약 <math>V</math>가 [[바나흐 공간]]일 경우 올이 <math>V</math>인 벡터 다발을 '''바나흐 다발'''({{llang|en|Banach bundle}})이라고 한다. 이와 마찬가지로 [[힐베르트 공간]] 올을 갖는 '''힐베르트 다발'''({{llang|en|Hilbert bundle}})이나 [[국소 볼록 공간]] 올을 갖는 '''국소 볼록 벡터 다발'''({{llang|en|locally convex vector bundle}})을 정의할 수 있다.

=== 매끄러운 벡터 다발 ===
[[미분기하학]]을 전개하기 위해서는 [[연속 함수]] 대신 [[매끄러운 함수]]를 사용해야 한다. 즉, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>X</math>
* [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>
* [[매끄러운 올다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow X</math>
* 각 <math>x\in X</math>에 대하여, 올 <math>E_x=\pi^{-1}(x)</math> 위의 <math>n</math>차원 [[실수 벡터 공간]] 구조
만약 <math>X</math>가 다음과 같은 호환 조건을 만족시키는 [[열린 덮개]] <math>(U_i)_{i\in I}</math> 및 [[미분 동형 사상]]들의 족
:<math>\left(\phi_i\colon U\times\mathbb R^n\to\pi^{-1}(U)\right)_{i\in I}</math>
를 가질 수 있다면, 올다발 <math>(X,E,\pi)</math>를 <math>n</math>차원 '''매끄러운 벡터 다발'''(-vector-, {{llang|en|smooth vector bundle}})이라 한다.
:임의의 <math>i\in I</math> 및 <math>x\in U_i</math>에 대하여 <math>\phi_i(x,-)\colon v\mapsto\phi_i(x,v)</math>는 <math>V</math>와 올 <math>E_x</math> 사이의 [[실수 벡터 공간]] 동형을 정의한다.
이 경우, 벡터 다발의 전체 공간 역시 [[매끄러운 다양체]]를 이루어야 하므로, 그 스칼라체는 [[실수체]]를 사용하고, 차원이 유한해야만 한다.

=== 벡터 다발 사상 ===
위상 공간 <math>X</math>와 [[위상환]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자. <math>X</math> 위의 두 <math>K</math>-왼쪽 가군 다발 <math>E,E'\twoheadrightarrow X</math> 사이의 '''가군 다발 사상'''(加群-寫像, {{llang|en|module bundle morphism}}) <math>f\colon E\to E'</math>은 다음 조건을 만족시키는 [[다발 사상]]이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>f</math>로 정의되는 함수 <math>E_x\to E'_x</math>는 <math>K</math>-[[위상 왼쪽 가군]]의 사상이다 (즉, [[연속 함수]]이자 <Math>K</math>-[[가군 준동형]]이다).

마찬가지로, [[매끄러운 다양체]] <math>X</math> 위의 두 매끄러운 벡터 다발 <math>E,E'\twoheadrightarrow X</math> 사이의 '''매끄러운 벡터 다발 사상'''(-vector-寫像, {{llang|en|smooth vector bundle morphism}})은 [[매끄러운 함수]]인 벡터 다발 사상이다.

== 연산 ==
[[위상 가군]] 또는 [[위상 벡터 공간]]에 가할 수 있는 연산([[직합]], [[텐서곱]], [[연속 쌍대 공간]] 등)을 가군 다발 또는 벡터 다발에 올마다 가하여 정의할 수 있다.

=== 직합 ===
위상 공간 <math>X</math> 위의, 같은 [[위상환]] <math>K</math>에 대한 왼쪽 가군 다발 <math>E,E'\twoheadrightarrow X</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 두 왼쪽 가군 다발의 '''[[직합]]''' <math>E\oplus E'</math>을 정의할 수 있다. 각 <math>x\in X</math>에서 <math>E\oplus E'</math>의 올은 다음과 같다.
:<math>(E\oplus E')_x=E_x\oplus E'_x</math>
만약 <math>X</math>가 [[매끄러운 다양체]]이며, <math>E</math>와 <math>E'</math>이 매끄러운 벡터 다발이라면 <math>E\oplus E'</math> 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

=== 텐서곱 ===
위상 공간 <math>X</math> 위의, 같은 [[가환환|가환]] [[위상환]] <math>K</math>에 대한 가군 다발 <math>E,E'\twoheadrightarrow X</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 두 가군 다발의 '''[[텐서곱]]''' <math>E\otimes_KE'</math>을 정의할 수 있다. 각 <math>x\in X</math>에서 <math>E\otimes_K E'</math>의 올은 다음과 같다.
:<math>(E\otimes_K E')_x=E_x\otimes_K E'_x</math>
만약 <math>X</math>가 [[매끄러운 다양체]]이며, <math>E</math>와 <math>E'</math>이 매끄러운 벡터 다발이라면 <math>E\otimes_{\mathbb R}E'</math> 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

=== 쌍대 벡터 다발 ===
위상 공간 <math>X</math> 위의, [[위상체]] <math>K</math>에 대한 벡터 다발 <math>E</math>의 '''쌍대 벡터 다발'''(雙對vector다발, {{llang|en|dual vector bundle}}) <math>E^*</math>는 각 올이 <math>E</math>의 [[연속 쌍대 공간]]인 벡터 다발이다.
:<math>E^*_x=(E_x)'</math>
만약 <math>X</math>가 [[매끄러운 다양체]]이며, <math>E</math>가 매끄러운 벡터 다발이라면 <math>E^*</math> 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

== 성질 ==
위상 공간 <math>X</math> 위의, 위상체 <math>K</math>에 대한 벡터 다발들의 범주는 [[가법 범주]]를 이루지만, 일반적으로 [[핵 (수학)|핵]]과 [[여핵]]을 갖지 못해 [[아벨 범주]]를 이루지 못한다. (이 문제를 해결하기 위해, 대수기하학에서는 보통 [[연접층]]을 대신 사용한다.)

=== 코쥘 접속 ===
{{본문|코쥘 접속}}
벡터 다발 위에는 벡터 다발 구조와 호환되는 [[에레스만 접속]]인 '''[[코쥘 접속]]'''이라는 구조를 정의할 수 있다.

== 분류 ==
{{본문|위상 K이론}}
위상 공간 위의 유한 차원 실수 또는 [[복소수]] 벡터 다발들은 '''[[위상 K이론]]'''이라는 [[환 (수학)|환]]으로 분류된다.

== 예 ==
=== 자명한 벡터 다발 ===
임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <Math>X</math> 및 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>에 대하여, <math>X\times V</math>는 자명한 벡터 다발을 이룬다. 만약 <math>X</math>가 [[매끄러운 다양체]]이며 <math>V=\mathbb R^n</math>이 [[유클리드 공간]]이라면 이는 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

=== 접다발 ===
{{본문|접다발}}
임의의 [[매끄러운 다양체]] 위에는 [[접다발]]이라는 매끄러운 벡터 다발이 존재하며, 그 차원은 다양체 자체의 차원과 같다.

=== 연관 벡터 다발 ===
{{본문|연관 벡터 다발}}
위상 공간 <math>X</math> 위의 [[주다발]]과, 주다발의 구조 [[위상군]]의 연속 [[군의 표현|표현]]이 주어졌을 때, <math>X</math> 위에 '''[[연관 벡터 다발]]'''이라는 벡터 다발을 구성할 수 있다.

=== 이산 공간 ===
[[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math> 위의 <math>K</math>-벡터 다발의 개념은 <math>K</math>-[[위상 벡터 공간]]의 개념과 동치이며,
[[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math> 위의 매끄러운 벡터 다발의 개념은 유한 차원 실수 벡터 공간의 개념과 동치이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[그라스만 다양체]]
* [[코쥘 접속]]
* [[특성류]]
* [[피카르 군]]
* [[선다발]](flux, [[선속]])

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Vector bundle}}
* {{매스월드|id=VectorBundle|title=Vector bundle}}
* {{매스월드|id=LineBundle|title=Line bundle|이름=Todd|성=Rowland}}
* {{nlab|id=vector bundle|title=Vector bundle}}
* {{nlab|id=module bundle|title=Module bundle}}
* {{nlab|id=direct sum of vector bundles|title=Direct sum of vector bundles}}
* {{nlab|id=tensor product of vector bundles|title=Tensor product of vector bundles}}
* {{nlab|id=dual vector bundle|title=Dual vector bundle}}
* {{nlab|id=real vector bundle|title=Real vector bundle}}
* {{nlab|id=complex vector bundle|title=Complex vector bundle}}
* {{nlab|id=line bundle|title=Line bundle}}
* {{nlab|id=Banach bundle}}

{{전거 통제}}

[[분류:벡터 다발| ]]