벡터 값 미분 형식 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''벡터 값 미분 형식'''(vector값微分形式, {{llang|en|vector-valued differential form}})의 개념은 [[미분 형식]]의 개념의 일종의 일반화이다. 벡터 값 미분 형식은 [[미분 형식]] 다발과 임의의 [[벡터 다발]]과의 텐서곱 다발의 [[단면 (올다발)|단면]]이며, 일종의 "뒤틀린 미분 형식"으로 여겨질 수 있다. 그 위에는 [[당김 (미분기하학)|당김]]과 [[쐐기곱]]이 정의되지만, 일반적으로 [[외미분]]은 정의되지 않는다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>M</math> 위의 매끄러운 [[벡터 다발]] <math>\pi\colon E\twoheadrightarrow M</math>
그렇다면, <math>M</math> 위의 '''<math>E</math>값 미분 형식'''들의 [[벡터 다발]]은 다음과 같다.
:<math>E\otimes\bigoplus_{p=0}^{\dim M}\bigwedge^p\mathrm T^*M</math>
즉, '''<math>E</math>값의 <math>p</math>차 미분 형식'''은 다음 단면 공간의 원소이다.
:<math>\Omega^p(M;E)=\Gamma\left(E\otimes\bigwedge^p\mathrm T^*M\right)
=\Omega^p(M)\otimes_{\Omega^0(M)}\Gamma(E)</math>
특히, <math>\Omega^0(M;E)=\Gamma(E)</math>이며, 또한 자명한 벡터 다발 <math>E=M\times\mathbb R</math>에 대하여 <math>\Omega^p(M;E)=\Omega^p(M)</math>이다.

만약 <math>E=M\times V</math>가 자명한 벡터 다발일 경우, 보통 <math>\Omega^p(M;E)</math>를 <math>\Omega^p(M;V)</math>로도 표기한다.

== 연산 ==
=== 당김 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>과 <math>N</math>
* [[매끄러운 함수]] <math>f\colon N\to M</math>
* <math>M</math> 위의 매끄러운 벡터 다발 <math>E</math>
* <math>M</math> 위의, <math>E</math>값의 <math>p</math>차 미분 형식 <math>\omega\in\Omega^p(M;E)</math>
그렇다면, <math>\omega</math>의, <math>f</math>에 대한 '''[[당김 (미분기하학)|당김]]'''
:<math>f^*\omega\in\Omega^p(N;f^*E)</math>
를 자연스럽게 정의할 수 있다.

=== 쐐기곱 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>M</math> 위의 두 매끄러운 벡터 다발 <math>E</math>, <math>F</math>
* <math>M</math> 위의, <math>E</math>값의 <math>p</math>차 미분 형식 <math>\alpha\in\Omega^p(M;E)</math>
* <math>M</math> 위의, <math>F</math>값의 <math>q</math>차 미분 형식 <math>\beta\in\Omega^p(M;E)</math>
그렇다면, <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>의 '''[[쐐기곱]]'''
:<math>\alpha\wedge\beta\in\Omega^{p+q}(M;E\otimes F)</math>
을 정의할 수 있다.

=== 리 대수 쐐기곱 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>M</math> 위의 매끄러운 벡터 다발 <math>E</math>. 또한, <math>E</math>의 각 올들이 단순히 실수 [[벡터 공간]]이 아니라, 실수 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 구조를 갖춘다고 하자.
* <math>E</math>값의 <math>p</math>차 미분 형식 <math>\alpha\in\Omega^p(M;E)</math>
* <math>E</math>값의 <math>q</math>차 미분 형식 <math>\beta\in\Omega^q(M;E)</math>
그렇다면, 이 경우 위의 쐐기곱과, [[리 괄호]]를 동시에 적용한 연산
:<math>[\alpha\wedge\beta]\in\Omega^{p+q}(M;E)</math>
를 정의할 수 있다. 이 경우,
:<math>[\alpha\wedge\beta]=(-1)^{pq+1}[\beta\wedge\alpha]</math>
가 성립한다.

=== 외미분 ===
일반적으로, 벡터 값 미분 형식의 경우 (벡터 다발이 자명하지 않다면) [[외미분]]을 정의할 수 없다. 물론, 자명한 벡터 다발의 경우 자명하게 외미분이 정의된다.

보다 일반적으로, [[벡터 다발]]에 평탄한 (즉, 곡률이 0인) [[코쥘 접속]]이 주어진다면 그 위에 일종의 외미분을 정의할 수 있다.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=differential form|title=Differential form}}
* {{nlab|id=groupoid of Lie-algebra valued forms|title=Groupoid of Lie-algebra valued forms}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:벡터 다발]]