베티 수 문서 원본 보기

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'''베티 수'''({{llang|en|Betti number}})는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[호몰로지 군]]의 [[계수 (아벨 군)|계수]]다. 공간의 위상적 특성을 나타내는 수열의 하나다. 기호는 <math>b_k</math>며, 0이거나, 양의 정수이거나, <math>\infty</math>이다. 좀 더 다루기 쉬운 ([[콤팩트 공간]] 또는 [[CW 복합체]] 등) 경우에는 베티 수는 모두 유한하며, 어느 <math>k_0</math>부터 <math>k\ge k_0</math>에 대하여 <math>b_k=0</math>이다.

== 정의 ==
위상 공간 <math>X</math>, 음이 아닌 정수 <math>k</math>, [[체 (수학)|체]] <math>\mathbb F</math>가 주어지면, <math>k</math>번째 '''베티 수''' <math>b_k(X,\mathbb F)</math>는 <math>k</math>번째 [[특이 호몰로지]] 공간 <math>H_k(X;\mathbb F)</math>의 (<math>\mathbb F</math>에 대한 [[벡터 공간]]으로서의) 차원이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
:<math>b_k(X,\mathbb  F)=\dim H_k(X;\mathbb F)</math>
일반적으로, <math>\mathbb F</math>가 주어지지 않았을 때에는 <math>\mathbb F=\mathbb Q</math> ([[유리수]])를 의미하는 것이다. 유리수에 대한 베티 수는 정수에 대한 호몰로지 공간 <math>H_k(X;\mathbb Z)</math>의 [[계수 (아벨 군)|계수]]와 같다. <math>\mathbb F</math>의 [[환의 표수|표수]]가 0이면 베티 수는 항상 유리수에 대한 베티 수와 같지만, 표수가 유한한 경우 달라질 수 있다. 만약 <math>k</math>가 주어지지 않으면 암묵적으로 <math>k=1</math>이다.

[[콤팩트 공간]]이나 [[CW 복합체]]의 베티 수는 어떤 유한한 <math>k_0</math> 이상으로는 <math>k\ge k_0</math>에 대하여 <math>b_k=0</math>이다. 따라서 베티 수를 [[생성함수 (수학)|생성함수]]로 나타낼 수 있는데, 이를 '''푸앵카레 다항식'''({{llang|en|Poincaré polynomial}})이라 한다. 즉 푸앵카레 다항식 <math>P(z)</math>는 다음을 만족한다.
:<math>P(z)=\sum_{k=0}^\infty b_kz^k</math>
무한차원에서는 이를 일반화하여 '''푸앵카레 급수'''({{llang|en|Poincaré series}})를 정의할 수 있다.

== 성질 ==
거칠게 말해서, <math>k>0</math>일 때 베티 수 <math>b_k</math>는 <math>k</math>차원 "구멍"의 수를 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 예를 들어 구 <math>\mathbb S^n</math>의 베티 수는 <math>k \in \{0,n\}</math>일 때에만 1이고 나머지 경우엔 0이다.

유한한 [[CW 복합체]] <math>K</math>의 경우 [[오일러 지표]]와 베티 수는 다음과 같은 관계를 가진다.
:임의의 체 <math>\mathbb F</math>에 대하여, <math>\chi(K)=\sum_{i=0}^\infty(-1)^ib_i(K,\mathbb F)</math>
여기서 <math>\chi(K)</math>는 [[오일러 지표]]이다.

임의의 (베티 수열이 유한한) [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>와 <math>Y</math>에 대하여 그 [[곱공간]] <math>X\times Y</math>의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 곱이다.
:<math>P_{X\times Y}(z)=P_X(z)P_Y (z)</math>
마찬가지로,<math>X</math>와 <math>Y</math>의 [[분리합집합]] <math>X\sqcup Y</math>의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 합이다.
:<math>P_{X\sqcup Y}(z)=P_X(z)+P_Y(z)</math>

닫힌 ''n''차원 [[가향 다양체]] <math>X</math>의 경우, 베티 수는 다음 관계를 만족한다.
:<math>b_k(X)=b_{n-k}(X)</math>
이는 [[푸앵카레 쌍대성]] <math>H^k=H_{n-k}</math>으로부터 유도할 수 있다.

== 예 ==
<math>n</math>차원 [[초구]] <math>\mathbb S^n</math>의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
:<math>P_{\mathbb S^n}(z)=1+z^n</math>
<math>n</math>차원 [[원환면]] <math>\mathbb T^n</math>의 푸앵카레 다항식은 원의 푸앵카레 다항식으로부터 다음과 같다.
:<math>P_{\mathbb S^n}(z)=(1+z)^n</math>
<math>n</math>차원 [[실수 사영 공간]] <math>\mathbb{RP}^n</math>의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
:<math>P_{\mathbb{RP}^n}(z)=\begin{cases}1&2\mid n\\1+x^n&2\nmid n\end{cases}</math>
무한 차원 [[실수 사영 공간]] <math>\mathbb{RP}^\infty</math>의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
:<math>P_{\mathbb{RP}^n}(z)=1</math>
<math>2n</math>차원 [[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb{CP}^n</math>의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
:<math>P_{\mathbb{cP}^n}(z)=1+z^2+\cdots+z^{2n}=\frac{1-z^{2n+2}}{1-z^2}</math>
무한 차원 [[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb{CP}^\infty</math>의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
:<math>P_{\mathbb{CP}^n}(z)=1+z^2+z^4+\cdots=\frac1{1-z^2}</math>
종수 <math>g</math>의 콤팩트 유향 [[곡면]]의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
:<math>P_{\Sigma_g}(z)=1+2gz+z^2</math>
[[K3 곡면]]의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.
:<math>P_{\text{K3}}(z)=1+22 z^{2}+z^{4}</math>

=== 리 군 ===
콤팩트 [[단일 연결]] [[단순 리 군]] <math>G</math>의 푸앵카레 다항식들은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>P_G(z)=\prod_{n\in N(G)}(1+z^n)</math>
여기서 <math>N(G)</math>는 '''원시 지수'''({{llang|en|primitive exponent}})라고 하며, 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 단순 리 군 !! 원시 지수 !! [[OEIS]]
|-
| <math>\operatorname{SU}(n+1)</math> || <math>3,5,\dots,2n+1</math> ||
|-
| <math>\operatorname{Spin}(2n+1)</math> || <math>3,7,\dots,4n-1</math> ||
|-
| <math>\operatorname{USp}(2n)</math> || <math>3,7,\dots,4n-1</math> ||
|-
| <math>\operatorname{Spin}(2n)</math> || <math>3,7,\dots,4n-5,2n-1</math> ||
|-
| <math>G_2</math> || 3, 11 ||
|-
| <math>F_4</math> || 3, 11, 15, 23 ||
|-
| <math>E_6</math> || 3, 9, 11, 15, 17, 23 || {{OEIS|A106373}}
|-
| <math>E_7</math> || 3, 11, 15, 19, 23, 27, 35 || {{OEIS|A106374}}
|-
| <math>E_8</math> || 3, 15, 23, 27, 35, 39, 47, 59 || {{OEIS|A106403}}
|}

== 역사 ==
[[앙리 푸앵카레]]가 [[엔리코 베티]]의 이름을 따서 명명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[오일러 지표]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Betti number}}
* {{매스월드|id=BettiNumber|title=Betti number}}
* {{nlab|id=Betti number}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:위상 그래프 이론]]