베트 수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''베트 수'''(ℶ數, {{llang|en|beth number}})는 [[가산 무한 집합]]의 거듭된 [[멱집합]]들의 크기들을 나타내는 표기법이다.

== 정의 ==
[[순서수]] <math>\alpha</math> 및 기수 <math>\kappa</math>에 대하여, '''베트 수''' <math>\beth_\alpha(\kappa)</math>는 다음과 같이 [[초한귀납법]]으로 정의된다.
* <math>\beth_0(\kappa)=\kappa</math>
* <math>\beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_\alpha(\kappa)}</math>
* [[극한 순서수]] <math>\lambda</math>에 대하여, <math>\beth_\lambda(\kappa)=\sup\{\beth_\alpha(\kappa)\colon\alpha<\lambda\}</math>
만약 <math>\kappa</math>를 생략할 경우, <math>\kappa=\aleph_0</math>을 의미한다. 즉,
:<math>\beth_\alpha=\beth_\alpha(\aleph_0)</math>
이다.

== 성질 ==
[[칸토어의 정리]]에 따라, 베트 수들은 항상 증가한다.
:<math>\alpha<\beta\implies\beth_\alpha<\beth_\beta</math>
또한, 베트 수는 같은 차수의 [[알레프 수]]보다 작지 않다. 즉, 모든 [[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여,
:<math>\beth_\alpha\ge\aleph_\alpha</math>
위 식에서 등식이 성립하는지 여부는 [[일반화 연속체 가설]]이라고 하며, 이는 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]과 독립적이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
  | last = Roitman
  | first = Judith
  | title = Introduction to modern set theory
  | 날짜 = 2011
  | publisher = Virginia Commonwealth University
  | isbn = 978-0-9824062-4-3 | 언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Beth|제목=The beth numbers, <math>\beth_\alpha</math>|웹사이트=Cantor’s Attic|언어=en|확인날짜=2014-12-15|보존url=https://web.archive.org/web/20141216001750/http://cantorsattic.info/Beth|보존날짜=2014-12-16|url-status=dead}}

== 같이 보기 ==
* [[알레프 수]]
* [[극한 기수]]

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:기수]]