베타 분포 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{확률분포 정보
|이름=베타 분포
|종류=밀도
|pdf 그림 =Beta distribution pdf.svg
|cdf 그림=Beta distribution cdf.svg
|기호=Beta(α, β)
|매개변수=α,β  > 0
|받침=<math>x \in [0, 1]</math>
|pdf=<math>\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\Beta(\alpha,\beta)}</math>
|cdf=<math>I_x(\alpha,\beta)</math>
|기대값=<math>\operatorname{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!</math><br /><math>\operatorname{E}[\ln X] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)</math> ([[디감마함수]])
|중앙값=<math>I_{\frac{1}{2}}^{[-1]}(\alpha,\beta)</math>
|최빈값=<math>\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}</math> (α, β >1)
|분산 =<math>\operatorname{var}[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math><br /><math>\operatorname{var}[\ln X] = \psi_1(\alpha) - \psi_1(\alpha + \beta)</math> ([[폴리감마함수]])
|왜도=<math>\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}</math>
|첨도=<math>\frac{6[(\alpha - \beta)^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]}{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}</math>
|엔트로피=<math>\begin{matrix}\ln\Beta(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)\\[0.5em]
+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta)\end{matrix}</math>
|  mgf        =<math>1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}</math>
|특성함수=<math>{}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)</math> ([[초기하함수]])
}}
[[확률론]]과 [[통계학]]에서 '''베타 분포'''(Β分布, {{llang|en|beta distribution}})는 두 매개변수 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>에 따라  [0,1] 구간에서 정의되는 연속 확률 분포들의 가족이다.

==확률 밀도 함수==
베타 분포의 [[확률 밀도 함수]]는 다음과 같다.
:<math>\begin{align}
f(x;\alpha,\beta)
& = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du} \\
& = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \\
& = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
\end{align}</math>
여기서 <math>\Gamma</math>는 [[감마 함수]]이다. [[베타 함수]] B(.,.)는 함수의 적분값이 1이 되도록 하기 위해 사용되었다.

== 응용 ==
베타 분포는 [[다운링크 빔포밍]] 등에 쓰인다.

== 외부 링크 ==
*{{springer|title=Beta-distribution}}
*{{매스월드|id=BetaDistribution|title=Beta distribution}}

{{확률분포}}

{{전거 통제}}

[[분류:연속분포]]
[[분류:계승과 이항식 주제]]
[[분류:확률분포]]