베주 정역 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]에서 '''베주 정역'''(Bézout整域, {{llang|en|Bézout domain}})은 [[베주 항등식]]을 만족시키는 [[정역]]이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''왼쪽 베주 환'''({{llang|en|left Bézout ring}})이라고 한다.
* 모든 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[왼쪽 아이디얼]]은 [[주 아이디얼]]이다.
* 두 [[주 왼쪽 아이디얼]]의 합이 [[주 왼쪽 아이디얼]]이다. 즉, 임의의 두 원소 <math>r,s\in R</math>에 대하여, <math>Rr+Rs=Rt</math>가 되는 <math>t\in R</math>가 존재한다.
마찬가지로, '''오른쪽 베주 환'''({{llang|en|right Bézout ring}})을 정의할 수 있다. 물론, [[가환환]]의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

[[정역]] <math>D</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 정역을 '''베주 정역'''이라고 한다.
* 왼쪽 베주 환이다.
* 오른쪽 베주 환이다.
* ([[베주 항등식]]) 임의의 <math>a,b\in D</math>에 대하여, [[최대공약수]] <math>\gcd\{a,b\}\in D</math>가 존재하며, 또한 <math>\gcd\{a,b\}=ac+bd</math>인 <math>c,d\in D</math>가 존재한다.
* 모든 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>에 대하여, [[국소화 (환론)|국소화]] <math>D_{\mathfrak p}</math>가 [[값매김환]]이다.
* 모든 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>에 대하여, [[국소화 (환론)|국소화]] <math>D_{\mathfrak m}</math>이 [[값매김환]]이다.

== 성질 ==
베주 정역은 [[최대공약수 정역]]({{llang|en|GCD domain}})이자 [[프뤼퍼 정역]]({{llang|en|Prüfer domain}})이다.

가환환에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[주 아이디얼 정역]]이다.
* 베주 정역이며 [[유일 인수 분해 정역]]이다.
* 베주 정역이며 [[뇌터 환]]이다.

가환환에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 베주 정역이자 [[국소환]]이다.
* [[값매김환]]이다.

=== 가군 ===
오른쪽 베주 환 위에서, [[꼬임 없는 왼쪽 가군]]의 개념은 [[평탄 왼쪽 가군]]과 일치한다.<ref name="Hattori">{{저널 인용|url=http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118800457|제목=A foundation of torsion theory for modules over general rings|이름=Akira|성=Hattori|저널=Nagoya Mathematical Journal|mr=0137745|zbl=0117.02202|issn=0027-7630|권=17|쪽=147–158|날짜=1960|언어=en}}</ref>{{rp|§1}}<ref name="Lam">{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}</ref>{{rp|128, Proposition 4.20}} (여기서, [[꼬임 없는 왼쪽 가군]] <math>_RM</math>은 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여 <math>\operatorname{Tor}^1_R(R/rR,M)=0</math>인 것이다.) 반대로, 왼쪽 베주 환 위에서,  [[꼬임 없는 오른쪽 가군]]의 개념은 [[평탄 오른쪽 가군]]과 일치한다.

== 예 ==
모든 [[대수적 정수]]의 [[정역]]은 베주 정역이지만, [[뇌터 환]]이 아니며 [[유일 인수 분해 정역]]도 아니다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Bezout ring}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/11/04/definition-and-basic-properties-of-bezout-domains/|제목=Definition and basic properties of Bezout domains|날짜=2010-11-04|웹사이트=Project Crazy Project|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/12/22/exhibit-a-bezout-domain-that-is-not-a-pid/|제목=Exhibit a Bezout domain that is not a PID|날짜=2010-12-22|웹사이트=Project Crazy Project|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:B%C3%A9zout_Domain|제목=Definition: Bézout domain|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Bezout_ring|제목=Bezout ring|웹사이트=CommAlg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Bezout_domain|제목=Bezout domain|웹사이트=CommAlg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Bezout_implies_gcd|제목=Bezout implies gcd|웹사이트=CommAlg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Gcd_not_implies_Bezout|제목=Gcd not implies Bezout|웹사이트=CommAlg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/48888/what-is-the-divisibility-theory-for-bezout-domains|제목=What is the divisibility theory for Bezout domains?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]