베주 정리 문서 원본 보기

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[[파일:Two cubic curves.png|섬네일|오른쪽|250px|베주 정리에 따라, 두 개의 3차 평면곡선은 최대 3×3=9개의 점에서 서로 교차한다.]]
[[대수기하학]]에서 '''베주 정리'''(Bézout定理, {{llang|en|Bézout’s theorem}})는 두 평면 [[대수 곡선]]의 [[교차수]]는 그 두 곡선의 차수들의 곱과 같다는 정리이다.

== 정의 ==
<math>k</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하고, <math>X</math>와 <math>Y</math>가 <math>k</math>에 대한 2차원 [[사영 공간]] 속에 존재하는, 서로 다른 기약(irreducible) [[대수 곡선]]이라고 하자. 그렇다면 <math>X</math>와 <math>Y</math>의 중복도를 고려한 [[교차수]]는 <math>X</math>의 차수와 <math>Y</math>의 차수의 곱과 같다.

보다 일반적으로, <math>p_1,\dots,p_n</math>이 <math>n+1</math>개의 변수를 가지는 [[동차다항식]]이라고 하자. 그렇다면 <math>p_i^{-1}(0)\subset P_k^n</math>은 <math>n</math>차원 [[사영 공간]] 속의 <math>n-1</math>차원 초곡면을 정의한다. 이들의 (중복도를 고려한) [[교차수]]는 <math>p_i</math>들의 차수의 곱과 같다.
:<math>i(p_1,p_2,\dots,p_n)=\prod_i\deg p_i</math>

== 증명 ==
x, y에 관한 방정식을 [[동차좌표]]로 쓰자.
:<math>a_0z^m + a_1z^{m-1} + \dots + a_{m-1}z + a_m = 0.</math>
:<math>b_0z^n + b_1z^{n-1} + \dots + b_{n-1}z + b_n = 0.</math>
ai와 bi는 x와 y에 대해 차수가 i인 동차다항식이다.

x와 y의 교차점은 [[연립 방정식]]의 해에 대응된다. [[실베스터 행렬]](Sylvester matrix)로부터 m=4와 n=3인 경우,
:<math>S=\begin{pmatrix}
a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0   & 0 \\
0   & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0 \\
0   & 0   & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\
b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0   & 0   & 0 \\
0   & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0   & 0 \\
0   & 0   & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & 0 \\
0   & 0   & 0   & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{pmatrix}</math>
2차 다항식의 [[종결식]]으로 불리는 <math>S</math>의 행렬식 <math>\det S</math>는 Z에서 공통해를 가질 때 0이다. <math>\det S</math>의 항들의 차수는 항상 <math>mn</math>이다. 그래서 <math>\det S</math>는 x와 y에 대해 차수가 mn인 [[동차다항식]]이다. [[대수학의 기본 정리]]에 의해, |S|는 많아야 mn개의 선형 인자로 인수분해 될 수 있다. 따라서 최대 <math>mn</math>개의 해를 갖는다.

== 예 ==
* 1차 대수 곡선은 직선이다. 따라서, 두 직선의 [[교차수]]는 1이다. 만약 두 직선이 평행하다면, 이 교차점은 [[사영 공간]]에서 무한대에 위치한 점이다. 예를 들면, [[사영 공간]]에서, x+2y=3과 x+2y=5를 [[동차다항식]]으로 표현하면, x+2y-3z=0과 x+2y-5z=0이 된다. 이를 풀면, x=-2y와 z=0을 얻게되고, 동차좌표인 (-2:1:0)을 얻게된다. z좌표가 0이므로 이 점은 무한대에 위치한 점이다.

* n차 곡선과 직선의 교차수는 <math>n</math>이다. 이 특별한 경우는 n차 곡선이 [[대수학의 기본 정리]]를 따르기 때문이다. 예를 들어, y=x²인 차수가 2인 포물선과, y=ax인 차수가 1인 직선은 a≠0일 때 정확히 두 점에서 만나고, a=0일 때 중복도가 2인 원점에서 만난다.

* 2차 대수 곡선은 [[원뿔 곡선]]이다. 따라서, 두 원뿔 곡선의 [[교차수]]는 4이다. 여기서, 일부 교차점은 중복도가 2 이상일 수 있다.

== 역사 ==
[[아이작 뉴턴]]이 《[[프린키피아]]》 1권 6부 [[보조정리]] 28을 증명하는 과정에서 사실상 증명하였다. [[에티엔 베주]]가 1779년 출판한 《대수방정식론》({{llang|fr|Théorie générale des équations algébriques}})에서 재발견하였다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=BezoutsTheorem|title=Bézout's Theorem}}
* {{eom|title=Bezout theorem}}

[[분류:대수기하학 정리]]
[[분류:평면기하학 정리]]
[[분류:결합기하학]]