베유 추측 문서 원본 보기

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[[수론]]과 [[대수기하학]]에서 '''베유 추측'''({{llang|en|Weil conjectures}})은 [[유한체]] 위에 정의된 [[대수다양체]]의 점의 수에 대한 네 개의 정리들이다.

== 정의 ==
[[유한체]] <math>\mathbb F_q</math> 위의 스킴 <math>X\to\operatorname{Spec}\mathbb F_q</math>가 [[매끄러운 스킴|매끄러운]] [[사영 대수다양체]]이라고 하자. <math>X</math>의 '''[[국소 제타 함수]]'''는 다음과 같다.
:<math>\zeta(X,s)=\exp\left(\sum_{m = 1}^\infty \frac1m\#(X/\mathbb F_{q^m})q^{-sm}\right)</math>
여기서 <math>\#(X/\mathbb F_{q^m})</math>은 <math>X\otimes_{\operatorname{Spec}\mathbb F_q}\operatorname{Spec}\mathbb F_{q^2}</math>의 닫힌 점의 수이다.

'''베유 추측'''에 따르면, 다음 네 명제들이 성립한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|450–451}}
* (유리성) <math>\zeta(X,s)</math>는 <math>q^{-s}</math>에 대한 [[유리 함수]]이며, 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
*: <math>\prod_{i=0}^{2n} P_i(q^{-s})^{(-1)^{i+1}} = \frac{P_1(T)\dotsb P_{2n-1}(T)}{P_0(T)\dotsb P_{2n}(T)}</math>
*: <math>P_i(T)\in\mathbb Z[T]\qquad\forall i\in\{0,1,\dots,2n\}</math>
*: <math>P_0(T)=1-T</math>
*: <math>P_{2n}(T)=1-q^nT</math>
*: <math>P_i(T)=\prod_{j=1}^{\deg P_i}(1-\alpha_{ij}T),\quad(\alpha_{ij}\in\mathbb C)</math>
* (함수 방정식) 어떤 정수 <math>E</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
*: <math>\zeta(X,n-s)=\pm q^{\frac{nE}{2}-Es}\zeta(X,s)</math>
* ([[리만 가설]]) 모든 <math>1\le i\le 2n-1</math> 및 모든 <math>1\le j\le\deg P_i</math>에 대하여, <math>|\alpha_{i,j}|=q_i/2</math>
* ([[베티 수]]) 어떤 [[대수적 수체]] <math>K\subset\mathbb C</math>의 [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_K</math>의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}\mathcal O_K</math>가 <math>\mathcal O_K/\mathfrak p\cong\mathbb F_q</math>를 만족시키며, 어떤 스킴 사상 <math>\tilde X\to\operatorname{Spec}\mathcal O_K</math>에 대하여, <math>\tilde X\otimes_{\operatorname{Spec}\mathcal O_K}\operatorname{Spec}\mathbb F_q</math>가 <math>X</math>와 <math>\mathbb F_q</math>-스킴으로서 동형이라고 하자. 이 경우, <math>\deg_iP_i=b_i(\tilde X\otimes_{\operatorname{Spec}\mathcal O_K}\operatorname{Spec}\mathbb C)</math>이다. 여기서 <math>b_i</math>는 복소수체 위의 대수다양체 <math>\tilde X\otimes_{\operatorname{Spec}\mathcal O_K}\operatorname{Spec}\mathbb C</math>의 [[특이 코호몰로지]]에 대한 [[베티 수]]이다. 또한, <math>E</math>는 복소수체 위의 대수다양체의 [[특이 코호몰로지]]에 대한 [[오일러 지표]]이다.

== 역사 ==
[[앙드레 베유]]가 1949년에 추측하였다. 유리성 추측은 1960년에 버나드 모리스 드워크({{llang|en|Bernard Morris Dwork}})가 증명하였고, 함수 방정식은 [[알렉산더 그로텐디크]]가 1965년에 증명하였고, [[리만 가설]]은 [[피에르 들리뉴]]가 1974년에 증명하였다. 이 공로로 들리뉴는 [[필즈상]]을 수상하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=WeilConjectures|title=Weil conjectures}}
* {{nlab|id=Weil conjectures}}

[[분류:디오판토스 기하학]]
[[분류:수론 정리]]
[[분류:고정점]]
[[분류:유한체]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]