베유 대수 문서 원본 보기

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[[리 대수]] 이론에서, '''베유 대수'''(Weil代數, {{llang|en|Weil algebra}})는 리 대수의 [[슈발레-에일렌베르크 대수]]에서, 고차 [[코호몰로지]]가 모두 없어지게 생성원들을 추가하여 얻는 [[미분 등급 대수]]이다. 대략, [[리 군]]의 [[분류 공간]] 위의 [[주다발]]의 전체 공간에 해당하며, 이 때문에 [[리 대수 코호몰로지]]의 이론에서 중요한 역할을 한다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[체 (수학)|체]] <math>K</math>
* <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>
그렇다면, <math>\mathfrak g</math>의 '''베유 대수'''는 다음과 같은 [[미분 등급 대수]]이다.
:<math>\operatorname W(\mathfrak g) = \bigwedge(\mathfrak g^* \oplus \mathfrak g[1]) \cong \bigwedge(\mathfrak g^*) \otimes \operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)
</math>
:<math>\operatorname W^n(\mathfrak g) = \bigoplus_{2p+q=n}\operatorname{Sym}^p(\mathfrak g^*) \otimes_K\bigwedge^q\mathfrak g^*</math>
여기서
* <math>(\mathfrak g^* \oplus \mathfrak g^*[1])</math>는 등급이 1인 <math>\mathfrak g^*</math>와, 등급이 2인 <math>\mathfrak g^*[1]</math>의 직합으로 생성되는 외대수이다. (즉, 등급이 2인 것들은 서로 가환이며, 등급이 1인 것들은 서로 반가환이다.)
즉, <math>\textstyle\bigwedge(\mathfrak g^*) \otimes \operatorname{Sym}(\mathfrak g^*)</math>로의 표현에서, [[외대수]] 성분의 생성원의 등급은 1이며, [[대칭 대수]] 성분의 생성원의 등급은 2이다.

그 위의 미분 연산은 다음과 같다.
:<math>\mathrm d = \mathrm d_1 + \mathrm d_2</math>
여기서
* <math>\mathrm d_1 \colon \mathfrak g^* \to \mathfrak g[1]</math>은 외대수의 생성원을 대칭 대수의 생성원으로 대응시킨다. (이는 <math>\mathfrak g[1]</math> 위에는 0으로 작용한다.)
* <math>\mathrm d_2 </math>는 <math>\mathfrak g</math>의 [[슈발레-에일렌베르크 대수]] <math>\textstyle\operatorname{CE}(\mathfrak g) = \bigwedge\mathfrak g^*</math>의 미분이다. (이는 <math>\mathfrak g[1]</math> 위에는 작용하지 않는다.)

== 성질 ==
리 대수의 베유 대수의 [[코호몰로지]]는 등급 0을 제외하고는 모두 0이다. 이는 완전열
:<math>K[\mathfrak g^*]^{\mathfrak g} \to \operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname{CE}(\mathfrak g)</math>
에 속한다. 여기서
* <math>\operatorname{CE}(\mathfrak g)</math>는 <math>\mathfrak g</math>의 [[슈발레-에일렌베르크 대수]]이다.
* <math>K[\mathfrak g^*]^{\mathfrak g}</math>는 <math>\mathfrak g</math> 위의 불변 다항식들의 대수이다.

이 완전열은 [[리 군]] <math>G</math>의 [[분류 공간]]의 [[주다발]]
:<math>G\hookrightarrow \mathrm EG \twoheadrightarrow\mathrm BG</math>
의 무한소 형태이다.

== 역사 ==
[[앙드레 베유]]의 이름을 땄다.

== 참고 문헌 ==
* {{인용| last1=Cartan | first1=Henri | title=Colloque de topologie (espaces fibrés), Bruxelles, 1950 | publisher=Georges Thone, Liège |mr=0042426 | year=1951 | chapter=Notions d'algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie | pages=15–27}} Reprinted in {{harv|Guillemin|Sternberg|1999}}
* {{인용| last1=Guillemin | first1=Victor W. | last2=Sternberg | first2=Shlomo | title=Supersymmetry and equivariant de Rham theory | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Mathematics Past and Present | isbn=978-3-540-64797-3 |mr=1689252 | year=1999}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Weil algebra of a Lie algebra}}
* {{nlab|id=Weil algebra}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:호몰로지 이론]]
[[분류:호모토피 이론]]